А. А. Самарский, А. В. Гулин

, 
и пусть существуют матрицы CJ1,
1= 0, 
1
, 
. . . ,
N. Если
выполнены неравенства
|CrM il + ]C7lB i | < l f 
г = 1, 2, . . . , iV — 1, 
(20)
||Со1В0| < 1 ,
IIOvVLv [|< 1, 
(21)
то матричная прогонка устойчива.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем по индукции, что |!а*1!^1 и 
матрицы 
Ci
—
имеют обратные, 1 = 1, 2, . . . ,
N.
Неравенство 
llctill^l выполнено в силу первого из условий (21). Предположим, 
что Hctill^l для некоторого 1 ^ 1 . Докажем, что тогда (С,—Д-аО-1 
существует и ||ai+1| | ^ l . Поскольку С;—
Aiai= C i{E—
С г ’Дсо), до­
статочно доказать существование матрицы 
(Е
— СГМ^а;)-1.
416

---

Пусть i e / / — любой вектор. Тогда
|1 (£ — 
C l l Ai
 || > || 
х
! — j| 
C 7 1A i ( x ix
 jl >
> 1 х | - 1 CTMi 11 a, S1 x 1 > (1 - I) C7lA D И .
Отсюда и из условий 1 — 
\\C'i1A i\\'^\\C7lB i\\
(см. (20)) получим
1 (£ — 
C l 1 A iC t?) 
х
I >
7
,-1 
x
||, 
i = l , 2 .......
N —
1, 
(22)
где ■
Yj= ||C r lfii||> 0 . Неравенство ^,> 0 следует из того, что С71 — 
невырожденная матрица и 
В{ф
0, и поэтому 
C ^ B t
— ненулевая 
матрица. Из неравенств (22) и леммы 1 следует существование 
матриц, обратных к С,—Л,сс„ г = 1, 2, . . . ,
N
—1, и оценки
I K E - c r M ^ n ^ i c ^ r 1. 
(23)
Таким образом, матрицы ос1+1, заданные рекуррентным соотно­
шением (16), существуют. Перепишем выражение для 
a i+l
в виде
a i+i = (£ — CrMiGti)-1 (СГ^О-
Отсюда и из оценки (23) получим,что
I a,4i || 
|| 
(Е
- CrMia,-)-1 IIII 
t f B i
К 1.
Итак, ио индукции доказано, что jla ill^ l, г = 1, 2, . . . ,
N.
Для 
завершения доказательства теоремы 1 осталось убедиться в том, 
что существует матрица, обратная к С.ч-—Л^а». Поскольку ||a Ni l ^ l , 
получим, как и ранее, что
I! 
(Е
—
См Аман)
*Ц 
(1 — 1 
См
Лд- 
|) ;| 
х
||
для любого х е Я . Следовательно, неравенство (22) выполняется и 
при 
i — N
с константой 7 ^ = 1 — ЦСлМ^Ц. Неравенство ^ > 0 выпол­
нено в силу второго из условий (21). Теорема 1 доказана.