А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . Матричная прогонка будет устойчивой и в том случае, если
вместо (21) потребовать
II C ^ f io l K 1, 
1. 
(24)
Доказательство проводится так же, как и в теореме 1. Надо заметить только,
ч т о в 
случае (24) выполняются строгие неравенства Ц
0
S i ] |
С 1, i = l , 2..........IV, и
II ( £ —
C ^ A f j a . f j ) х
;] О
( 1 —
[ ] С у 1 A
v a jV | | ) j| х | j ,
причем
1 - « C ^ M , v a v Ц > 1 _ | l a v [Щ С ^Л д, || > 1 - | C ^ . 4 jV Ц > 0 ,
т. 
е. 1 — Ц С ^Л ^ад, 11 > 0.
Применим теорему 1 к исследованию устойчивости метода про­
гонки для разностного уравнения Пуассона (см. п. 2). В этом
417

---

случае система (1) принимает вид (9), причем
Ac = Bi = th2E2, С1 — 2К?Ег — къ,
i —
 1, 2, ... , Л л—1, Во—Л ^=О,
где матрица Л2 определена согласно (6).
Условия устойчивости прогонки (20) принимают вид
||СГ1К 0 , 5 ^ ,
1 = 1 , 2 , . . . , ^ - 1 ,
и будут выполнены, если
\ С с У \ > М у \
(25)
h\
для любого вектора 
у
размерности 
Nz
—1.
Выберем в качестве нормы вектора
У={Уи Ун,.. .,Унг-i)T
величину ||г/|| 
— Ц у , у),
где
Л'а-1
(и, и ) =
2
hjUflj.
i
Тогда
I 
Ciyf = ( - \ y ~ k ^ ,
4 "
У —
Aai/ ] =
l
hl 
hl 
J
= 4 fi 
у
ii2— 4
y )
+ ii Л.У f >
i 
у
i2,
h[ 
h\ 
hi
поскольку
(А2г/, 
у)
= — 2
(y7J 2h<
0.
/'= i
Тем самым условие (25) выполнено и матричная прогонка для 
системы (4) — (5) устойчива.