А. А. Самарский, А. В. Гулин

с (о> = Cj 
(8)
F\k)
= F f ^ U +
c lh-1)F t 1' + F t t
i- 
(9)
F f = F c ,
i = 2\ 2-2\ 3 -2 \ . . . ,
2m—2\
Таким образом, весь процесс решения состоит из прямого хода 
и обратного хода. Прямой ход заключается в нахождении матриц 
С*4 и векторов Ff> по формулам (8), (9). Обратный ход состоит в 
нахождении векторов у; из системы (7), начиная с 
k — m.
Метод редукции в том виде, как он здесь изложен, не применя­
ется в реальных вычислениях по двум причинам. Во-первых, он не­
экономичен из-за того, что на каждом этапе приходится обращать 
матрицу 
Cik)
общей структуры. Во-вторых, вычисление правых час­
тей по формулам (9) неустойчиво. В следующих пунктах будет по­
казано, как можно устранить указанные недостатки метода ре­
дукции.
420

---

2. Обращение матриц. Соотношение (8) представляет собой не­
линейное разностное уравнение первого порядка для матриц. Его 
решение можно найти в явном виде.
Рассмотрим сначала числовой аналог уравнения (8), а именно 
разностное уравнение
Ук = у1л —
2, 
* = 1 , 2 , . . . ,
у 0 — х,
(10)
где 
х
— заданное число.
Покажем, что решение 
ук = ук{х)
уравнения (10) выражается 
через многочлен Чебышева, а именно
У*(х) = 2 Т ^ ,
* = 1 , 2 , . . . ,
(11)
где
cos (n arccos 
х
), 
если | 
х
| -< 1, 
у [ ( *
+ Y
я2 — 1)п + (ж — /л : 2 — 1)п], если |ж| > 1.
Из выражения для 
Тп(х)
следует, что
Ты {х)=2{Тп{х)Г— \.
Отсюда при 
п = 2h~l
получаем
Ч
т 1 = 2
Л-1
I2 — 1,
т. е. функция (11) удовлетворяет уравнению (10). 
Корнями многочлена (11) являются числа 
о 
(2/ — 1) я 
, 
. 0
Xi,k =
2 cos v 
'
, 
t =
1, 2, . . . .
Поэтому функция 
yh(x
) , представляющая собой многочлен относи­
тельно л; степени 2й со старшим коэффициентом 1, разлагается в 
произведение
(2/ — 1) я\
2^+i 
J
■
Приведенные выше выводы имеют место и для матричного урав­
нения (8). По индукции легко доказывается, что решением 
См
уравнения (8) является многочлен (относительно матрицы С) 
степени 
2к
со старшим коэффициентом 1. Для этого многочлена 
справедливо представление, аналогичное (11), т. е.
С{к) - -
2
Т ,k
и справедливо разложение на линейные множители
с {к)
(2/ — 1) я сЛ
2Ш 
С) ■
(
12
)
421

---

Наличие такого разложения позволяет упростить процедуру об­
ращения матриц. В случае разностных аппроксимаций уравнений 
эллиптического типа матрица 
С
является трехдиагональной, в то 
время как 
С(к>
— матрицы общей структуры. Благодаря разложе­
нию (12) обращение матрицы 
С{к>
сводится к последовательному 
обращению трехдиагональных матриц
Ck,i = С
— 2 cos 
121- " * .£,
/ = Т , 2,. .. , 2fe. 
(13)'
Действительно, пусть требуется решить уравнение
С(',)н='ф, 
(14)
где
r,k
1=1
Рассмотрим для наглядности сначала случай, когда 
k = 2.
Тогда 
(14) принимает вид
Сг,
16
*
2
,
2612
,
3
О
24
У 
ф. 
(16)
ОбОЗНаЧИМ 
Но = ф, 
^ 
^
2
.
2
^
2
,
3
^
2
,i^,
У 
2
= О^С^У, Уз = С
24
У, 
V^ — V.
Тогда получим, что решение системы (15) сводится к последова­
тельному решению четырех систем уравнений
0
2
д У 
4
У 
0
) 
2
У 
2
У
1
) С>
21
зУз= У2, 0
24
U
4
=H3,
где о
0
= ф, 
у
4
=
у
.
Точно так же решение системы (14) в общем случае сводится к 
последовательному решению систем уравнений
С*,,
у
, = 
1=1,
2, . . . , 2 \ 
(16)
где 
у
0
=
ф
, 
у
„* =
у
. Если матрицы См трехдиагональные, то каждую 
из систем (16) можно решить методом прогонки.
Указанный выше способ обращения матрицы 
С(к)
предполагает 
определенный порядок выполнения промежуточных этапов: снача­
ла надо обратить матрицу 
СкЛ,
затем — матрицу См и т. д. Одна­
ко, поскольку в матрице 
С{к)
все сомножители перестановочны, мож­
но использовать и другие способы введения промежуточных значе­
ний 
v,, 
1=1,
 
2, . . . .
2к
—1. Так, систему (15) можно записать в виде
2,4
С*
2,3
С
2,2
, 
1
“ ф
и заменить системой уравнений
0 2>4У 
1
='
У 
0
) 0
21
зУ
2
= У1> С
22
Н3= У2, С
2 11
-
14
= Уз,
где и
0
= ф, 
у
4
=
у
. Теоретически при любом порядке выполнения про­
межуточных этапов мы должны получить одно и то же решение 
у
. 
Однако, если число промежуточных этапов велико, то при решении 
систем уравнений (16) на ЭВМ будет происходить накопление по­
грешностей округления. Рост погрешностей округления зависит от 
порядка выполнения промежуточных этапов. Здесь имеет место
422

---

примерно та же ситуация, что и в итерационном методе с чебышев- 
ским набором параметров (см. п. 2 § 6 гл. 2 ч. II). Поэтому при 
реальном решении системы (14) рекомендуется обращать внима­
ние на порядок выполнения промежуточных этапов. Более подроб­
но этот вопрос рассмотрен в книге [35].
3. 
Вычисление правых частей. В методе редукции правые час­
ти 
F\k~l)
уравнения (7) должны удовлетворять соотношению (9). 
Будем искать 
F f ]
в виде