А. А. Самарский, А. В. Гулин

In —/in -
=
In -
j
 Inf 1 
+
) 
.
8 / 
p 
8/ 
( 
1—5)
При 
h
О имеем
2 |
я2Л2
= ---- , так что
2
« о (е )
2 In (1/8)
Я 2 / ! 2
*
(9)
Следовательно, 
м етод Я коби тр ебует 
0 ( h
~2) итераций для д о ­
стижения заданной точности. Это очень медленная сходимость. 
В настоящее время применяются методы, требующие 
0 ( h
~l) и 
даже 0 ( ln /i-1) итераций для достижения той же точности. С этими 
методами мы познакомимся в § 2, 3, 4.
382

---

Рассмотрим метод Зейделя для системы (3). В общем случае 
(см. § 1 гл. 2 ч. II) метод Зейделя строится таким образом, чтобы 
в уравнении с номером 
i 
неизвестные, имеющие индекс больший, 
чем i, вычислялись бы по значениям на 
п
-й итерации. Реализация 
метода Зейделя для системы (3) приводит к следующему итераци­
онному методу:
, Л +
1 
Q . / 1 H I 
,/1
„ П + 1
0 , Л + 1
I 
„ п
*Уд ~г yj+\,j 
, Ус, / - 1 
~г ^i./Ч
К1
■
—■
/от
УЦ
1 =
о, 
Х ц
е
Ун .
X ij £= (Oft,
( Ю )
Хотя метод Зейделя является неявным, нахождение значений 
на новой итерации не представляет труда, поскольку оно сво­
дится к обращению треугольной матрицы. Здесь нужно лишь пра­
вильно установить последовательность проведения вычислений. 
Сначала из уравнения (10), используя известные граничные зна­
чения (/о1+1= 0 и 
у**1 =
0, находят 
у**1.
Зная 
у™,
можно найти 
у ^ 1
и т. д. Таким образом, неизвестные 
у"f1
вычисляются в следую­
щем порядке изменения индексов: (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 
N
— 1), 
(2, 1), (2, 2), . . . . (2, 
N -
1), .. . 
(N
— I, 1), 
(N
— 1, 2), . . . ,
( N -
1, 
N
— 1). В этом случае говорят, что вычисления ведутся от левого 
нижнего угла прямоугольника 
G
к правому верхнему углу.
Метод Зейделя сходится несколько быстрее, чем метод Якоби, 
однако число итераций, необходимое для достижения заданной 
точности, здесь также является величиной порядка 
h
~2.