Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

1.  CHiziqlarni ko`paytirish va undan kelib 
chiqadigan natijalarga doir asosiy geometrik 
masalar tug`risidagi bob. 
Bu  bobda  ibn  Sino  chiziqni  o`ziga  ko`paytirish  va 
bunday  ko`paytmani  geometrik  usulda  yasashni 
ko`rsatadi. Ikki to`g`ri chiziq ko`paytmasini ibn Sino bu 
to`g`ri  chiziqlardan  yasalgan  to`g`ri  to`rtburchak  deb 
ataydi. 
«Negizlar»  asarining  ikkinchi  kitobi  «geometrik  algebra»  masalalariga  bag`ishlangan.  Bunda 
miqdorlar  geometrik  ravishda  kesmalar  va  to`g`ri  chiziqli  yuzlar  bilan  ifodalanadi,  miqdorlar 
ustidagi  algebraik  amallar  geometrik  usulda  aniqlanadi.  Masalan,  ikki  miqdorni  qo`shish-ikki 
kesmani  qo`shishdan  iborat  bo`ladi,  ikki  miqdorni  ko`paytirish-ikki  kesmadan  to`g`ri  to`rtburchak 
yasash bilan bajariladi. 
Ammo  Evklid  biror  joyda  «CHiziklarni  kupaytirish»  so`zini  ishlaytmaydi.U  berilgan 
chiziklarda  yasalgan  kvadratlar  va  tugri  turtburchaklar  suzlarini  ishlatadi.  Demak,  Ibn  Sino 
arifmetik  terminologiyani  geometriyaga  Evklidga  karagnda  dadilrok  tadbyuik  etadi.  Arifmetik 
terminologiyaning  geometriyaga  tadbik  et‘ilishi,  Ibn  Sino  yashagan  davrlarda  son  tushunchasini 
kenggaytirishga  zaruriyat  tugilganidan  darak  beradi.  «CHizikni  uziga  kupaytirish»  deb  ezadi  Ibn 
Sino,  chizikda  shunday  kvadrat  yasashdan  iboratki,  uning  uzunligi  va  kenligi  o`zaro  tengdir, 
kvadratning uzunligi va kenligi shu chiziqqa teng, demak, uning uzunligi kenligiga ko`paytiriladi. 

---

 
37 
 Bu  kvadrat  shunday  yasaladi:  «berilgan  chizikning  oxiriga  shunday  perpendikulyar 
chikariladiki,  uning  uzunligini  berilgan  chizik  uzunligiga  teng  kilib,tsirkul  bilan  ajratiladi  So`ngra 
bu perpendikulyarning oxiriga,shunday perpendikulyar o`rnatiladiki, uning uzunligini xam, berilgan 
chizik  uzunligiga  teng  kilib,  tsirkul‘  bilan  ajratiladi.  Xuddi  shu  tariqa  to`rtinchi  tomon  yasaladi». 
Demak, kvadrat hosil bo`ladi. 
SHundan  so`ng  ibn  Sino  Pifagor  teoremasi  va  unga  teskari  teoremaning  isbotlarini  beradi, 
xamda quyidagi  
ayniyatlarning  geometrik  isbotlarini  ko`rsatadi.  Pifagor  teoremasini  Evklild  ―To`g`ri  burchakli 
uchburchakda  to`g`ri  burchak  tiralgan  tmonga  yasalgan  kvadrat  to`g`ri  burchakni  o`ragan 
tomonlarga  yasalgan  kvadratlar  yig`indisiga  teng‖  deb  bayon  etgan  bo`lsa,  ibn  Sino  bu  teoremani 
chiziqlarni ko`paytirish orqali bayon etadi: ―Agar AVS uchburchakda A burchagi to`g`ri bo`lsa, u 
vaqtda  AV  ning  o`z-o`ziga  ko`paytmasi  bilan  AS  ning  o`z-o`ziga  ko`paytmasining  yig`indisi  VS 
ning o`z-o`ziga ko`paytmasiga teng bo`ladi‖ deydi. 
7.Doira  va  u  bilan  bog`liq  bo`lgan  ba`zi  bir  xossalarga  doir  geometrik  masalalar 
to`g`risidagi bob.  
Bu  bobda  o`zaro  teng  doiralarga  joylashgan  teng  burchaklar,  markazdan  ixtiyoriy  vatar 
o`rtasiga tushirilgan perpendikulyar, 
 Doira  diametri  uchiga  o`tkazilgan  perpendikulyar  va  ularning  xossalari,  ichki  chizilgan 
burchak  va uning o`lchanishi,  urinmaning  xossalari  va boshqalar  bayon etilgan.Sakkiz  teorema  va 
ularning isboti beriladi. 
8.Nisbat va uning xossalariga doir masalalar to`g`risidagi bob.       
Bu  bobda  ibn  Sino  geometrik  miqdorlparning  nisbatlari  nazariyasini  qisqacha  bayon  etadi. 
Bunda ayniqsa tuzma nisbatga katta axamiyat beriladi. 
Tuzma  nisbatga  shunday  ta`rif  beriladi:  «agar  A  ning  V  ga  va  V  ning  S  ga  nisbati  bu  ikki 
nisbatdaen  tuzilgan  bo`ladi.  Agar  A  ning  V  ga 
nisbati S ning D ga nis batiga teng bo`lsa, V ning S 
ga  nisbati  E  ning  D  ga  nisbatiga  tengg  bo`ls  a,  u 
vaqtda A ning S ga nisbati, S ning D ga nisbati va 
E ni ng D ga nisbatlaridan tuzilgan bo`ladi», ya`ni  
 
Hozirgi  vaqtda  tuzma  yoki  tuzilgan  nisbat 
deb, ikki yoki bir necha  nisbatning ko`paytmasiga 
aytiladi. 
SHundan so`ng, ibn Sino teng nisbatlarning 
xossalarini bayon etadi, ularni xozirgi belgilashlarga asosan quyidagicha yozish mumkin:  

---

 
38 
SHunday  qilib,  ibn  Sino  bu  bobda  tuzma 
nisbatlarga  katta  axamiyat  beradi  va  ularni  bayon 
etadi.  Bu  esa  keyinchalik  Umar  Xayyomning  bu 
problemaga  katta  qiziqish  bilan  qarashiga  sabab 
bo`ladi va uni  son tushunchasini musbat xaqiqiy son 
tushunchasiga olib keladi. 
9.Tekkis 
shakllar, 
ularning 
tomonlari 
orasidagi  munosabatlar  va  ularning  xossalariga  doir 
asosiy geometrik masalalar  to`g`risidagi bob. 
Bu  bobda  umumiy  balandlikka  ega  bo`lgan 
uchburchaklar 
va 
parallelogrammlar, 
ularning 
xossalari,  o`xshash  uchburchaklar,  ko`pburchaklar, 
o`rta  va  uchinchi  proportsional  chiziq  yasash  va 
boshqalar bayon etiladi. 
Bu  bobningg  mazmuni  13  teorema  va  ular 
isbotlarining  bayonidan  iborat.  Bular  orasida 
yasashga doir quyidagi masalalpar bor: 
1)Berilgan  ikkita  AV  va  VS  chiziqlar  (ibn 
Sino  kesmalarni  chiziqlar  deb  oladi)  orasidagi  o`rta 
proportsional  chiziq  yasalsin,  ya`ni  AV  ning  bu 
chizi
qqa 
nisb
ati, bu chiziqning VS ga nisbatiga teng bo`lsin . 
YAsash:  berilgan  ikki  chiziqni  ketma  ket 
qo`yamiz(10 shakl).  
Xosil bo`lgan chiziq uchlaridan yarim doira 
o`tkazamiz. V nuqtadan AS ga perpendikulyar qilib 
aylana bilan kesishguncha VD ni chiqaramiz.  
AD  va  SD  chiziqlarni  o`tkazamiz.  VD  
berilgan  ikki  chiziq  orasida  o`rta  proportsional 
chiziq  bo`ladi.  Xaqiqatdan  xam,  deb  yozadi  ibn  Sino,  ADC    burchagi-tug`ri  burchak  va  xosil 
bo`lgan uchta uchburchaklar bir biriga o`xshash bo`ladi. SHu sababli AV ning  VD ga nisbati BD 
ning VS ga nisbatiga teng  bo`lsin. 
2)AV  va  VS  chiziqlardan  burchak  yasaymiz.  AS  chizikni  o`tkazamiz.  So`ngra  VS  ga  teng 
AE ni ajratamiz. E nuqtadan AS ga parallel ED ni o`tkazamiz. U vaqtda SD uchinchi proportsional 
chiziq  bo`ladi.  Xaqiqatdan  xam,  deb  yozadi  ibn  Sino,  chizmadan  VA  ning  AE  ga  yoki  VS  ga 
nisbati, VS ning SD ga nisbatiga teng bo`ladi.  Demak, SD uchinchi proprtsional chiziq bo`ladi.