Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

10.Doiralar bilan bog`liq bo`lgan nisbatlarning xossalariga doir asosiy geometrik 
masalalarga bag`ishlangan bob. 
Bu  bobda  oldin  bayon  etilgan  nisbatlar  nazariyasini  tadbiq  etish  natijasida  bir  yoki  ikki 
doiradagi  burchaklar  va  yoylarining  nisbatlari,  aylanaga  ichki  chizilgan  o`xshash  shakillarning 
xossalari xaqidagi teoremalar va ularning isbotlari bayon etilgan. 
11.Doiralardagi vatarlarning xossalariga doir asosiy geometrik  
masalalar to`g`risidagi bob. 
Bu  bobda,  doiraning  shunday  vatarlari  aniqlanadiki,  ular  ichki  chizilgan  teng  tomonli 
uchburchak,  oltiburchak,  beshburchak  va  o`nburchaklarning  tomonlari  bo`ladi.  Bular  quyidagi 
teoremalarda bayon etilgan: 
 1-teorema.  Aylananing  oltidan  bir  bo`lagini  tortib  turuvchi  vatar  aylananing  yarim 
diametriyaga tengdir. 
 
Isboti: AVSD doira berilgan bo`lsin (12 shakl).  

---

 
39 
Uning  markazi  E  nuqta  va  yarim  diametri  ES  bo`lsin,  S  markazdan  ES  masofada  ikkinchi 
aylana  yasaymiz.  U  birinchi  aylanani  A  va  D  nuqtalarda  kesadi.  AE,  AS,  DE  va  DS  vatarlarni 
o`tkazamiz. U vaqtda ASE va DSE uchburchaklar teng tomonli bo`ladi. Bu uchburchaklarning xar 
ichki  burchagi,  to`g`ri  burchakning  2G`3  bo`lagiga  teng.  SE  ni  V  nuqtagacha  davom  ettiramiz.  U 
vaqtda AEV burchagiga tug`ri burchak bilan uning uchdan bir bo`lagiga teng. DEV burchagi xam 
shunga teng bo`ladi. Bu burchaklarni EG` va EN chiziqlar bilan teng ikkiga bo`lamiz. Oltita o`zaro 
teng burchaklar, oltita yoylar va oltita vatarlar xosil bo`ladi. Vatarlarning xar biri AS ga teng, bu esa 
ES ga teng, demak yarim diametrga teng. Teorema isbotlandi. 
2-teorema. Agar teng tomonli uchburchak doiraga ichki chizilgan bo`lsa, u xolda uning biror 
tomonining  o`ziga  ko`paytmasi  doira  yarim  diametrning  o`ziga  ko`paytmasining  uch  barovariga 
tengdir.Isboti: AVS uchburchak teng tomonli va ichki chizilgan bo`lsin:  
 D  markazdan  VS  tomonga  perpendikulyar 
tushirib,  uni  aylana    bilan  kesishguncha  ikki 
tomonga  davom  ettiramiz.  Bu  perpendikulyar  VS 
yoyini  E  nuqtada  teng  ikkiga  bo`ladi.  E  va  S 
nuqtalarni  tushiramiz.  U  vaqtda  AS  ning  o`ziga 
kupaytmasi  bilan  ES  ning  o`ziga  kupaytmasi  AE 
ning o`ziga ko`paytmasiga teng bo`ladi, bo` esa DE 
ni  o`ziga  ko`paytmasining  to`rt  baravariga  teng. 
Bundan  DE  ning  o`ziga  ko`paytmasini,  ya`ni  SE 
ning  o`ziga  ko`paytmasini,  ya`ni  SE  ning  o`ziga 
ko`paytmasini  ayirsak,  AS  ning  o`ziga  ko`paytmasi 
qoladi  va  bu  DE  ning  o`ziga  ko`paytmasining  uch 
baravariga teng. Demak, ichki chizilgan uchburchak 
tomonining  o`ziga  ko`paytmasi,  yarim  diametrining 
o`ziga  ko`paytmasining  uch  baravariga  teng,  ya`ni 
hozirgi belgilashlarga ko`ra: 
 
3-teorema.  Agar  VS  to`g`ri  chiziq  aylananing  o`ndan  bir  bo`lagini  tortib  turuvchi  vatar 
bo`lsa (14-shakl)  
SD  aylananing  oltidan  bir  bo`lagining  vatari  bo`lib,  VS  davomida,  aylana  tashqarisida 
joylashgan  bo`lsa,  u  xolda  VS  ning  DS  ga 
nisbati, DS ning DV ga nisbatiga tengdir. 
Isboti. 
Faraz 
qilaylik, 
E 
nuqta 
aylananing  markazi  bo`lsin.  EV  va  ES 
radiuslarni  o`tkazamiz.  ES  ni  A  nuqtagacha 
davom  ettiramiz.  U  xolda  u  diametr  bo`ladi. 
AEV 
burchagi 
VES 
burchagining 
to`rt 
baravariga teng. CHunki AV yoyi VS yoyining 
to`rt baravariga teng. AEV burchagi ikkita ESV 
burchagiga  teng.  ESV  burchagi,  ikkinchi 
tomondan  ikkita  ED  burchagiga  teng.  CHunki 
SDE uchburchagining yon tomonlari SE va SD 
ning  har  biri  aylana  oltidan  bir  bo`lagining 
vatari  hisoblanadi.  SHu  sababli  VES  va  EDS 
burchaklari  o`zoro  teng.  Demak,  VES  va  VED 
uchburchaklarining  burchaklari  mos  ravishda 
teng  va  uchburchaklar  uxshashdir.  SHuning 

---

 
40 
uchun ularning mos tomonlari VS ning VE ga nisbati, VE ning VD ga nisbatiga teng. Lekin VE q 
SD, ya`ni Vs ning DS ga nisbati DS ning DV ga nisbatiga teng. Teorema isbotlandi. 
4-teorema.  Agar  VS  ning  SD  ga  nisbati  SD  ning  VD  ga  nisbatiga  teng  bo`lsa  va  SD 
aylananing  oltidan  bir  bo`lagi  vatari  bo`lsa,  u  vaqtda  SV  hamma  vaqt  aylananing  o`ndan  bir 
bo`lagining vataribo`ladi(14-shakl). 
Isboti:  agar  SD  ga  teng  SE  olib,  shu  masofada  aylana  chizsak  va  chizmani  to`ldirsak,  u 
vaqtda VDE uch burchakdan VD ning VSE uchburchakdan VE ga nisbati VDE uchburchakdan VE 
ning VSE uchburchakdan VSga nisbatiga teng bo`ladi. V burchak bu uchburchaklar uchun umumiy. 
SHuning  uchun  VED  va  VES  uchburchaklar  o`xshash  bo`ladi.  Demak,  EVS  burchagi  D 
burchagining ikki baravariga teng va EVS burchagi VES burchagining ikki baravariga teng. Demak, 
U  VES  burchagi  tiralgan  yoyining  to`rt  baravariga  teng.  SHuning  uchun  AV  yoyi  VS  yoyining  
to`rt baravariga teng, ya`ni VS aylana o`ndan bir bo`lagining vatari bo`ladi. Teorema isbotlandi.