Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

qanday 
uchburchakda 
ichki 
burchaklar  yig`indisi  2  d  ga  teng.  Masalan:  AVS 
uchburchakda  A,V  va  S  burchaklarning  yig`indisi  2  d 
bo`ladi.  
 
Haqiqatan ham deb yozadi ibn Sino, S nuqtadan AV ga parallel to`g`ri chiziq o`tkazamiz. Buni 
yasash  oson,  ya`ni  V  burchakka  teng  burchak  yasaymiz.  Bu  V  burchakni  VS  bo`ylab  suramiz,  u 
vaqtda  burchakning  ikkinchi  SE    tomoniga  parallel  bo`ladi.  SE  chiziq  ASD  burchakni  ikkiga 
bo`ladi.  ASE  burchagi  SAV  burchagiga  va  ESD  burchagi  AVS  burchagigi  teng  bo`ladi.  Demak, 
ASD burchak, A va V burchaklari yig`indisiga teng. Lekin SAD va ASV burchaklarning yig`indisi 
2 d bo`ladi. SHu sababli uchburchakda uchta ichki burchaklar yig`indisi 2 d ga teng. 

---

 
35 
So`ngra  ibn  Sino  ikki  tomoni  va  ular  orasidagi  burchaklari  mos  ravishda  teng  bulgan  ikki 
uchburchakning  teng  ekanligini  isbotlaydi.  Uchta  tomonlari  mos  ravishda  teng  bulgan  ikkita 
uchburchakning tengligi, teng yonli uchburchaklarda asosdagi burchaklarning tengligi, har qanday 
uchburchakda  katta  tomon  qarshisida  katta  burchak  yotadi  va,  aksincha,  katta  burchakning  katta 
tomonga    tiralganligi haqida teoremalarning isbotlarini bayon etadi. 
4.TSirkul‘ va chizg`ich yordamida yasashga doir masalalarga bag`ishlangan bob. 
Bu  bobni  bayon  etishdan  oldin,  shuni  qayd  qilish  kerakki,  ibn  Sino  o`zining  geometrik 
mulohazalariga  tsirkuldan  geometrik  asbob  sifatida  foydalanadi,  ya`ni  tsirkulni  geometrik  yasash 
uchun amalda tatbiq etadi. Ammo Evklid «Negizlar» asarila, tsirkul‘ haqida hech narsa yozmaydi. 
Uning  hamma  geometrik  yasashlari  ideal  tsirkul‘  va  chizg`ich  yordamida  bajarilgan  bulishiga 
qaramasdan, u  bu geometrik asboblarni amalda  tatbiq  etmaydi.  Evklid o`z yasashlarida tsirkul‘  va 
chizg`ichdan deyarli foydalanmaydi. 
Bu  bobda  ibn  Sino  uchta  geometrik  masalani  tsirkul‘  va  chizg`ich  yordamida  yasashni 
kursatadi (
4-shakl)
 
1)AV chiziqda yotgan S nuqtadan, bu chiziqqa perpendikulyar chiqarish. 
  
YAsalishi:  AV  chiziqda  S  nuqtadan,  uning 
har  ikki  tomonida  uzoro  teng  SD  va  CE  kesmalar 
ajratamiz:
 
D  ni  markaz  qilib,  tsirkul‘  yordamida  DE  radiusli 
aylana  yoyini  chizamiz.  Xuddi  shunday  E  nuqtani 
markaz 
qilib, 
ED 
radiusli 
aylana 
yoyini 
chizamiz.Bu  yoylar  G  nuqtada  kesishadi.G 
nuqtadan  chizg`ich  yordamida  GD,  GE    GS 
chiziqlarini o`tkazamiz. 
 
Biz  aytamizki, izlangan perpendikulyar  GS 
chizig`i  bo`ladi.  Haqiqatan  ham,  yasashga  ko`ra, 
GDE uchburchakning tomonlari o`zoro teng. GSD va GEC uchburchaklarning tomonlari ham mos 
ravishda  teng  bo`ladi.  SHuning  uchun  ESG  va  DCG  burchaklar  teng.  Demak,  GC  chiziq  AV 
chiziqqa perpendikulyar bo`ladi. 
 
«Negizlar»  asari  birinchi  kitobning  11-  jumlasida  bu  masala  bayon  etilgan  bo`lib,  Evklid 
shunday yasashlar o`tkazadi: AS chizig`ida ixtiyoriy E nuqta oladi, so`ngra SE ga teng SD  kesma 
ajratadi.  DE  kesmada  teng  tomonli  uchburchak  yasaydi.  So`ngra  uning    G  uchini  S  bilan 
tutashtiradi.  GS  kesma  izlangan  perpendikulyar  bo`ladi.  Evklid  ham  yasash  kerak  bo`lgan  kesma, 
haqiqatan  GS  ekanligini,  ikki  uchburchakning  tengligidan,  GCE  va    GCD  burchaklarninng  teng 
ekanligini asoslaydi. Bu yasashlar shuni ko`rsatadiki, ibn Sinoning metodi Evklidnikidan bir oz farq 
qiladi.  Ibn  Sino  yasash  jarayonida  tsirkul  va  chizg`ichdan  to`g`ridan-to`g`ri  va  kengt  ravishda 
foydalanadi. 
 
2) AV chiziqning tashqarisida yotgan S nuqtadan AV chiziqqa perpendikulyar tushirish. 
 
YAsalishi: AV chiziqning ikki tomonida ixtiyoriy  D nuqtani belgilaymiz: 
 
 
S  nuqtani  markaz  qilib,  SD  radiusli  aylana 
chizamiz.  Bu  aylana  AV  chiziqni  E  va  G 
nuqtalarda  kesadi.  EG  kesmani  N  nuqtada  teng 
ikkiga  bo`lamiz.  SN  chiziqni  o`tkazamiz.  Biz 
aytamiz,  SN  izlangan  perpendikulyar  chiziq 
bo`ladi.  Haqiqatan  ham  SE  va  SG  chiziqlarni 
o`tkazib,  hosil  bo`lgan  uchburchaklarning 
tengligidan, 
SN 
ning 
AV 
ga 
perpendikulyarligini ko`rsatish mumkin. 
 
3) AVS burchakni teng ikkiga bo`lish: 
 

---

 
36 
YAasalishi: tsirkul yordamida VS va VA chiziqlarda o`zaro teng VE va VD kesmalarni ajratamiz. E 
va  D  nuqtalarni  tutashtiramiz.  ED  kesmani  G  nuqtada  teng  ikkiga  bo`lamiz.  Hosil  bo`lgan 
uchburchaklarning  tengligidan  EVG  va  DBG  burchaklarning  tengligi  kelib  chiqadi.  Demak,  BG 
chizig`i AVS burchagini teng ikkiga bo`ladi. 
5.To`rtburchaklar, ularda joylashgan uchburchaklar va ularning munosabatlariga doir asosiy 
geometrik masalalar to`g`risidagi bob. 
Bu 
bobda 
uchburchaklar, 
to`rtburchaklar, 
to`g`ri 
burchakli 
uchburchaklar, 
parallelogrammlarning  xossalari  bayon  etilgan.  Uchburchak  va  to`rtburchaklarning  o`zaro 
munosabatlari va ularning xossalarini ifodalovchi oltita teorema va ularning isbotlari bayon etilgan. 
Masalan: ulardan ba`zilari quyidagilardan iborat: 
Teorema 1. Agar qarama qarshi tomonlari o`zoro teng va parallel bulgan tekis shakl berilgan 
bo`lsa,  uning  diagonali  bu  shaklni  teng  ikkiga 
bo`ladi. 
Teorema  2.  O`zoro  parallel  ikki  chiziq 
orasiga  joylashgan,  umumiy  asosga  ega  va 
qarama  -  qarshi  tomonlari  parallel  bo`lgan 
shakllar  tengdosh  bo`ladi  (ya`ni  ularning  yuzlari  teng).  Masalan:  asoslari  SD  bo`lgan  AVSD  va 
EGCD tekis shakllar o`zoro tengdosh bo`ladi. 
Teorema  3.  O`zoro  parallel  chiziqlar  orasiga  joylashgan  va  umumiy  asosga  ega  bo`lgan 
uchburchaklar  tengdosh  bo`ladi.  Masalan  SD  asosga  ega  bo`lgan.  ASD  va  GCD  uchburchaklar 
tengdosh bo`ladi. 
Teorema  4.  O`zoro  parallel  chiziqlar  orasiga  joylashgan  va  asoslari  teng  bo`lgan 
to`rtburchaklar tengdosh bo`ladi. Masalan AVSD va GTHF turtburchaklar tengdoshdir: