Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
Ikki kush va balik xakidagi kadimiy masala 
Ikki terak daraxtning balandliklari ma`lum bulib, kengligi AV bulgan arikning ikki kirgogida usgan. 
Suvning yuzida balik kurinadi. Bu balikka xar ikki terak uchida turgan ikki kush uchib boradi va bir 
vaktning  uzida  balikka  yopishadilar.  Balik  kuringan  joydan  arikning  kirgoklarigacha  bulgan 
masofalar va xar ikki kushning uchgan masofalari aniklansin. 
Faraz  kilaylik,  ma`lum  uzunlikdagi  teraklar  AN  va  VK,  ular  arik  yuziga  perpendikulyar  bulsin. 
Balik  kuringan  joy  E  nukta  bulsin.  NE,  KS  va  AE,  VE  masofalarni  topish  kerak.  NE  va  Ke 
masofalarni xar ikki kush bir xil vaktda, bir xil tezlik bilan uchib utgani uchun, bu masofalar teng, 
ya`ni NEqKE buladi.  
ВКЕ

  tugri  burchakli  bulgani  uchun  KE
2
qVK
2
QVE
2
  va 
АНЕ

tugri  burchakli  bulgani  uchun 
Ne
2
-AN
2
QAE
2
. Demak, 
VK
2
QVE
2
qAN
2
QAE
2
. 
Endi ADqBK, BDqAH va Av tomonlarga ega bulgan ABD uchburchakni yasaymiz. DEni utkazib, 
uning  AV  tomonlarga  perpendikulyar  bulishini  kursatamiz.  Teskarisini  faraz  kilamiz,  AV  ga  DF  
perpendikulyar bulsin. U vaktda AD
2
-BD
2
qAF
2 
–BF
2
 BK
2
-AH
2
qAF
2
-BF
2
 buladi. YA`ni D nuktadan 
AV  ga  ikkita  perpendikulyar  utkazilgan  buladi.  Bu  esa  mumkin  emas.  Demak,  DE  AB 
perpendikulyar  buladi. 
ADB

ga  tashki  aylanna  chizamiz.  ADqDBC    yoylarni  ajratamiz  u  vaktda 
ikkinchi teoremaga asosan AD
2
qBD
2
QAbxBCG` 
Rasmdan 
ADqBK, 
BDqAH 
bulgani 
uchun 
BC
AB
BD
AD
2
2

 
yoki 
BC
AB
AH
BK


2
2
 
va
BC
AB
BE
AE
BE
AE
AB
BE
AE
)
)(
(
2
2




va  AE+BE=AB  bulganidan,  AE-BE=BC  buladi.  Bu 
keyingi  ikki  tenglikdan 
).
(
2
1
),
(
2
1
BC
AB
BE
BC
AB
AE




  Bunda  AB,BCqDC-DBqAD-DB 
ma`lum, AE va VE topiladi. Demak, NE
2
qAN
2
QFE
2
 va KEqNE ekani xam topiladi. 
Beruniy geometriyaga doir bu asarida, yukorida bayon etilganlardan tashkari trigonometriyaga doir 
kup  formulalarni  aniklashdan  iborat  masalalarni  echadi.  CHunonchi  u  ikkilangan  va  yarim 
burchakning  sinusini,  ikki    burchak  yigindisi  va  ayirmalarining  sinusini,  xamda  ikki  burchak 
yigindisini  yarmining  sinusini  topish  koidalarini  keltiradi.  Bu  koidalar  mazkur  sinuslarni 
ifodalovchi ayniyatlarga teng kuchlidir.