3 Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги

 
 
Ушбу мақолада кўп номаълумли мураккаб тенгламаларни ечиш ёки уларнинг ечимлари 
мавжуд эмаслигини исботлаш усуллари баён қилинади. Хусусан, сонларни таққослама ёрдамида 
текшириш, кўп хонали сонларни маълум сонларга бўлганда ҳосил бўладиган қолдиқларни 
топишда, катта сонларнинг катта даражаси қандай сонлар билан тугашини билишда ва шунга 
ўхшаш масалаларни ечишда муҳим аҳамият касб этади. 
Лекин таққосламаларни фақатгина шу турдаги масалаларга эмас, балки ечилиши мураккаб 
бўлган кўп ўзгарувчили чизиқли бўлмаган тенгламаларни ечишда ҳам қўллаш юқори самарага 
эришишга имкон берар экан. 
Бундай масалаларни ечиш талабаларнинг (ўқувчиларнинг) математикага ва аниқ фанларга 
бўлган қизиқишини оширади ва мантиқий фикрлашларини ўсишига кўмак беради. 
Кўпчилик авторлар методик адабиётларда математикани ўрганиш жараёни ўқувчиларнинг 
ижодий фикрлашини ўстиришини, уларни мантиқий, исботли фикрлашга ўргатишини 
таъкидламоқдалар. 
Ушбу мақола юқорида зикр этилган масалаларни ечишда таққосламаларни қўллашга 
бағишланади. Баъзан, бирор турдаги масалаларни ечиш жараёнида таққосламаларни бир неча 
маротаба ҳам қўллаш мумкин бўлади ва керакли натижани олиш имкониятини беради. 
Баъзи бир кўп ноъмалумли тенгламаларни ечишда тенглама ечимлари тўпламини маълум 
бир кўринишда бўлишини ёки ечимларини маълум тўпламга тегишли эмаслигини кўрсатишда 
таққосламадан фойдаланиш самарали натижа беради. 
Масалан, ушбу квадрат тенгламани кўрайлик,
 
1
0
2



c
x
b
x
a
Агар 
, ,
a b c
коэффициентлар бутун сонлар бўлиб, улар тоқ сонлар бўлса, (1) квадрат 
тенглама рационал ечимга эга эмас. 
Исботи.
Бизга маълумки, квадрат тенгламанинг ечимлари
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
,
1




кўринишда бўлади. Агар ечим рационал бўлса, 
ac
b
4
2

ифода ҳам рационал бўлади ва 
ac
b
4
2

қандайдир 
Z
m

соннинг квадратига тенг бўлади.
, ,
a b c
коэффициентлар тоқ 
сонлар бўлгани учун, 
m
– сони ҳам тоқ бўлади. Чунки 
ac
b
m
4
2
2


. 
Бундан ташқари
2
1,
2
1,
2
1
a
k
b
t
c
d


 


деб олсак, у ҳолда 


4
4 4
2
2
1
16
8
8
4
ac
dk
d
k
dk
d
k



 



, 


4
4 
8
ac
mod

ўринли бўлади. Шу билан бирга 

---

167
 
1
1
4
1
4
4
2
2






t
t
t
t
b
, 


1
t t

ифода доимо жуфт, шунинг учун


2
1 mod 8
b

.
Натижада 


2
4
5 mod 8
b
ac


келиб чиқади. Иккинчи томондан, 
2
1
m
n


деб олсак,




2
2
2
4
4
1 4
1
1,
1 mod8
m
n
n
n n
m


 
 

бўлади. Демак, 
ac
b
m
4
2
2


тенглик ўринли эмас [1,2]. 
Қуйидаги тенгламаларни таққосламанинг қўлланилишига мисол қилиб келтириш мумкин.