O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
1.21.
 
y 
= 
1
 -
  cos
t
    funksiyaning  dàvriyligini  isbît  qiling  và
àsîsiy  dàvrini  tîping.
1.22.
  1) 
f
(
x
)
 
= 
sin
x
, 
g x
x
( )
=
1
, 
x 
¹ 
0  bo‘lsà, 
g
°
f
  kîmpîzitsiya
dàvriy  funksiya  bo‘là  îlàdimi? 
f 
°
  g 
-chi?  Àgàr  shundày  bo‘lsà,
dàvrini    tîping.
2)  Àgàr 
5
3
  và 
2
7
    sînlàri 
f
  funksiyaning    dàvrlàri  bo‘lsà,
17
21
  sîni  hàm  uning  dàvri  bo‘lishini  isbît  qiling.
3) 
y 
= 
cos(
a
x
)  ning  àsîsiy  dàvrini  tîping.
4) 
y
x
cos
=
 ning  àniqlànish sîhàsini tîping và dàvriylikkà
tåkshiring.
5 )Quyidàgi  funksiyalàrning  dàvriy  emàsligini  isbît  qiling:
y
  = 
cos
x
2
; 
 
sin
y
x
=
; 
  y 
= 
sin
x
3
;
y
x
x
=
+
sin
cos(
)
3
.
1.23.
  Funksiyalàrning  dàvrini  tîping:
1) 
  y 
= 
sin5
x
  + 
cos4
x
;
2) 
  y
  = 
cos
x
  + 
2sin4,9
x
;
3) 
y
x
x
=
-
+
sin ,
sin
4 3
10
3
.
5.  Sinus  và  kîsinus  funksiyalàrning  õîssàlàri.
  Sinus  và
kîsinus  funksiyalàrning  õîssàlàri  bilàn  tànishishni  dàvîm
ettiràmiz.
Y
X
A
(0)
B
1
(
-
t
)
B
(
t
)
O
E
(
p+
t
)
O
Y
X
A
1
1
C
D
-
1
-
1
F
I
II
III
IV
            
         I.28-rasm.
      I.29-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

21
1) sin
t
 funksiya àrgumåntning 
t 
= p
k
, 
k
Î
Z
 qiymàtlàridàginà,
cos
t
 funksiya esà àrgumåntning 
t
k k Z
=
+
Î
p
p
2
,  
 
qiymàtlàridàginà
nîlgà  àylànàdi.  Hàqiqàtàn,  kîîrdinàtàli  àylànàdà  fàqàt  ikki
A
(0)
 
= 
A
(1;  0)  và 
D
(
p
)
 
= 
D
(
-
1;  0)  nuqtàning  îrdinàtàsi  nîlgà
tång,  ya’ni 
y 
= 
sin
t 
= 
0  (I.27-ràsm).  Bu  nuqtàlàrgà  2
p
k
, 
k
Î
Z
và 
p  + 
2
p
k
, 
k
Î
Z
  sînlàr  to‘plàmlàri  mîs.  Bu  ikkàlà  to‘plàmni
bittà  {
p
k
, 
k
Î
Z
}  to‘plàmgà  birlàshtirib  yozàmiz.  Shu  kàbi
kîîrdinàtàli  àylànàdà  fàqàt  ikki 
( )
C
Ñ
p
2
0 1
=
( ; )
 
  và 
( )
3
2
F
p
=
(0;  1)
F
=
-
 
nuqtà  àbssissàsi  nîlgà  tång  (I.27-ràsm),  ya’ni
x 
= 
cos
t 
= 
0. Bu nuqtàlàrgà 
k
2
2
p
+ p
, 
k
3
2
2
p
+ p
 
k
2
(2
1)
p
= +
+ p
,
k
Î
Z
  sînlàr  to‘plàmlàri  yoki 
{
}
2
,  
k
Z
p
+ p
Î
  to‘plàm  mîs;
2)  cos
t
  –  juft  funksiya,  sin
t
  –  tîq  funksiya.  Hàqiqàtàn, 
B
(
t
)
và 
B
1
(
-
t
)  nuqtàlàr  àbssissàlàr  o‘qigà  nisbàtàn  simmåtrik    jîy-
làshgànligidàn  (I.28-ràsm)  ulàrning  àbssissàlàri  tång,  îrdinà-
tàlàri  esà  fàqàt  ishîràlàri  bilàn  fàrq  qilàdi.  Dåmàk,  cos(
-
t
)
 
=
=
cos
t
,  ya’ni  cos
t
  juft  funksiya,  sin(
-
t
)
 
=  -
sin
t
,  ya’ni  sin
t
tîq
funksiya;
3)  àgàr 
B
(
t
)  nuqtà  kîîrdinàtàli  àylànà  bo‘ylàb 
p
  qàdàr
siljitilsà,  cos
t
  và  sin
t
  funksiyalàr  o‘z  ishîràlàrini  o‘zgàrtiràdi:
cos(
t 
+  p
)
 
=  -
cos
t
;                              (1)
sin(
t 
+  p
)
 
=  -
sin
t
.                                (2)
Hàqiqàtàn, 
B
(
t
)  và 
E
(
p
 
+ 
t
)  nuqtàlàr  kîîrdinàtàlàr  bîshigà
nisbàtàn  simmåtrik jîylàshgànligidàn  (I.28-ràsm)  ulàrning
kîîrdinàtàlàri  qàràmà-qàrshi  ishîràli  bo‘làdi;
4) 
A
  (1;  0), 
C
  (0;  1), 
D
  (
-
1;  0), 
F
  (0; 
-
1)  nuqtàlàr
kîîrdinàtàli  àylànàni  to‘rt  chîràkkà  àjràtàdi  (I.29-ràsm).  Àgàr
A
(0)  nuqtà 
A
  dàn 
C
  gàchà  siljitilsà, 
A
  nuqtà  àbssissàsi  1  dàn
0 gàchà kàmàyadi, îrdinàtàsi esà 0 dàn 1 gàchà o‘sàdi. Dåmàk,
0
2
£ £
t
p
  îràliqdà  (I chîràkdà)  sin
t
  funksiya  nîmànfiy  và  0
dàn  1  gàchà  o‘sàdi,  cos
t
  hàm  nîmànfiy,  låkin  1  dàn  0  gàchà
kàmàyadi.  Qîlgàn  chîràklàrdà  hàm  shu  kàbi  mà’lumîtlàrni
to‘plàb,  quyidàgi  jàdvàlni  tuzàmiz:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

22
Ì à s h q l à r
1.24. 
1
 - 
ños
t
  funksiya  (Ìirzî  Ulug‘båk  bu  funksiyani  sàhm
t
  funksiya  dåb  àtàgàn)  ishîràlàrining  sàqlànish  îràliqlàrini,
nîllàrini,  juft-tîqligini  àniqlàng,  180
° 
±
  a
  yoy  sàhmining  1
  +
+
cos
a
  gà tångligini tåkshiring, 
a
  yoy sàhmi 1
 - 
ños
a
  gà tång.
1.25. 
sin
t
,  cos
t
  và  1
  - 
cos
t
  mîs  ràvishdà:
1) 
2 10
7
3
7
4
7
;
;
 
 
  gà  tång  bo‘lishi  mumkinmi?
2) 
-
-
+
+
+
a
a
b
b
a
b
b
a
b
2
2
2
2
2
2
1
;
;
 
 
  gà-chi  ?
1.26.
 Quyidà 
t
 ning qiymàtlàri ko‘rsàtilgàn. 
B
(
t
) nuqtà qàysi
chîràkdà  jîylàshgàn,  sin
t
,  cos 
t
  làr  qàndày  ishîràgà  egà
bo‘làdi?
1) 
5
4
p
; 
2)
 
4
5
p
;
  3) 
p
7
;
  4) 
2
3
p
;
  5)  3;  6)  3,13;
7)  1,7
p
;    8)  1,78
p
;    9) 
-
1,78
p;
    10) 
-
2,8;  11) 
-
4;
12) 
-
1,31;  13)  49600;     14)  356
°
;    15)  247
°
36
¢
42
¢¢
;
16)  34680
°
;17) 
-
674
°
;  18) 
-
107
°
13
¢
55
¢¢
.
1.27. 
Àyniyatlàrni  isbît  qiling:
1) 
sin
cos
cos
sin
cos sin
x
x
x
x
x
x
+
=
1
,
  bundà  sin
x
  ¹ 
0,  cos
x 
¹ 
0;
2)
sin 30
cos 30
4
3
cos 30
sin 30
+
=




;
  3)  sin
2
x 
× 
cos
2
x 
+ 
cos
2
x 
+ 
sin
4
x 
= 
1;
4)  sin
2
x 
- 
cos
2
x 
=
 
sin
4
x 
- 
cos
4
x
;
5)  sin
2
x 
- 
sin
2
x
cos
2
x 
- 
cos
4
x 
= 
1
 
- 
2cos
2
x
;
6)  cos
2
x 
+ 
sin
2
x 
× 
cos
4
x 
- 
sin
6
x 
= 
1
 
- 
2sin
4
x
;
7)  6(sin
4
x 
+ 
cos
4
x
)
 
- 
4(cos
6
x 
+ 
sin
6
x
)
 
= 
2.
o‘sàdi            kàmàyadi        kàmàyadi        o‘sàdi
Funksiya
0
2
< <
t
p
p
p
2
< <
t
p
p
< <
t
3
2
3
2
2
p
p
< <
t
  musbàt,          musbàt,          musbàt,          musbàt,
0 dàn 1 gàchà  1 dàn 0 gàchà  0 dàn 
-
1 gàchà 
-
1 dàn 0 gàchà
sin
t
cos
t
o‘sàdi            kàmàyadi        kàmàyadi        o‘sàdi
  musbàt,          musbàt,          musbàt,          musbàt,
0 dàn 1 gàchà  1 dàn 0 gàchà  0 dàn 
-
1 gàchà 
-
1 dàn 0 gàchà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

23
1.28.
  sin
x 
- 
cos
x 
= 
m
  bo‘lsin.  sin
x
  và  cos
x
  ni  hisîblàmày,
quyidàgilàrni  tîping:
1)  sin
3
x 
- 
cos
3
x
;
2)  sin
4
x 
- 
cos
4
x
.
1.29.
  Òånglàmàlàrni  yeching:
1)  sin10
x
 
= 
0; 2)  cos5
x
 
= 
0; 3) 
sin
x
3
0
=
;  4) 
cos
x
5
0
=
;
5) 
(
)
sin 2
0
6
x
-
=
p
;  6) 
(
)
sin 6
0
4
x
+
=
p
;  7) 
( )
cos
x
6
2
0
-
=
p
;
8) 
( )
sin
x
4
8
0
+
=
p
.
1.30.
  Ifîdàlàrni  sîddàlàshtiring:
1)  2cos(
p  +
 
x
)
  +
 
3cos(
-
x
)
  +
 
cos(
p  -
 
x
);
2)  sin(
p  +
 
x
)
  -
 
2sin(
p  -
 
x
)
  -
 
3sin(
-
x
);
3)  4cos(
-
x
)
  +
 
5sin(
p  +
 
x
)
  -
 
2sin(
p  -
 
x
)
  -
 
6cos(
p  +
 
x
).
1.31. 
à)  Quyidàgi  funksiyalàrni  juft-tîqlikkà  tåkshiring:
1)  sin
9
x
;      2)  cos
9
x
;      3)  sin
8
x
;          4)  5cos
5
x
  +
 
6cos
4
x
;
5)  3sin
3
x
  -
 
2sin
2
x
;    6)  3sin
3
x
  +
 
4cos
5
x
;  7) 
4
2
2
5
5
sin
cos
sin
x
x
x
+
+
.
b)  Ifîdàlàrning  ishîràlàrini  àniqlàng:
1) 
6
7
5
4
sin
cos
p ×
p
; 
                          2) 
3
7
7
4
3
4
sin
sin
cos
p ×
p ×
p
;
3)  sin  0,9  cos(
-
1)  cos  4.
1.32.
  Sinus  và  kîsinus  funksiyalàr  qàysi  chîràklàrdà  bir  õil
ishîràgà  egà?
1.33.
 Àgàr:
1)  cos
t 
=
 
3sin
t
;  2)  cos
t
  =
 
sin
2
t
;  3)  sin
t
  =
 
2cos
3
t
;  4)  cos
t
=
=
 
sin
4
t
  bo‘lsà, 
t 
qàysi  chîràkkà  tegishli  bo‘làdi?
1.34.
  Àgàr:  1) 
t
  burchàk  ikkinchi  chîràkkà  tågishli  và
cos
t
= -
2
3
  bo‘lsà,  sin
t
  nimàgà  tång  bo‘làdi?
2) 
t 
burchàk uchinchi chîràkkà tågishli và 
4
5
sin
t
= -
 bo‘lsà,
cos
t 
nimàgà  tång  bo‘làdi?
1.35.
  Qàysi  biri  kàttà:
1)  sin45
°
    yoki 
3
sin
p
;    2)  ños45
°
    yoki 
3
cos
p
;    3)  sin50
°
yoki  cos50
°
?
1.36.
  Ifîdàlàrning  qiymàtlàrini  hisîblàng:
1)  sin240
°
;      2)  cos240
°
;    3) 
9
6
sin
p
;
    4) 
( )
11
3
sin
p
-
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

24
5) 
( )
7
3
cos
p
-
; 
                6) 
( )
( )
2
2
13
11
3
6
cos
sin
p
p
-
+
-
;
7) 
3cos( 180)
cos180
cos
cos 90
-
p×
-
o
o
o
;
8) 
( )
5
sin
3
2
1
2
cos 0
5
cos
4
cos
sin
p
p
p
-
p ×
+
-
;             9)  
2
2
2
2
cos 30
sin 45
sin 30
sin 45
-
o
o
o
o
.
1.37.
 
f
(
x
)
 = 
6sin4
x
 - 
3cos4
x
 funksiyaning 
f
(0), 
( ) ( )
f
f
p
p
2
4
,  
-
qiymàtlàrini hisîblàng.
1.38. 
Àyirmàlàrning ishîràlàrini àniqlàng:
1)  sin38
° - 
sin40
°
;
2)  cos51
° - 
sos21
°
;  3) 
9
4
sin
sin
p
p
-
;
4)  sin48
° - 
sin52
°
;
5) 
9
4
cos
cos
p
p
-
;  6)  sin132
° - 
sin152
°
;
7) 
10
20
cos
cos
p
p
-
;
8) 
10
20
sin
sin
p
p
-
;  9)  sin12
° - 
cos732
°.
1.39.
 Funksiyalàrning o‘sish và kàmàyish îràliqlàrini tîping:
1) 
y
x
=
sin
3
; 2) 
y
x
=
cos
3
;
3) 
y 
= 
sin5
x
; 4) 
y 
= 
cos5
x
;
5) 
( )
3
sin
y
x
p
=
+
;  6) 
( )
3
cos
y
x
p
=
+
;  7)
( )
3
4 sin
y
x
p
=
-
;
8) 
( )
3
sin
3
x
y
=
+
; 9) 
y 
= 
cos
2
x
;  10) 
2
2
sin
x
y
=
;
11) 
4
3
3cos
x
y
= -
; 12) 
y 
= 
cos(5
x 
+ 
60
°
); 13) 
y 
= 
sin(2
x 
- 
60
°
).
1.40.
 Funksiyalàrning o‘sish và kàmàyish îràliqlàrini tîping:
1) 
y 
= 
2sin3
x 
- 
3cos2
x
; 2) 
y
x
=
1
2 cos
; 3) 
y
x
=
+
1
2
1
cos(
)
;
4) 
y
x
=
sin
;     5) 
y 
= 
sin
4
x 
+ 
2sin
2
x
cos
2
x 
+ 
cos
4
x
;
6) 
y 
= 
cos2
x 
+ 
sin
2
x
;   7) 
y 
= 
cos
x 
+ 
sin2
x
;
8) 
(
)
1
2
4
3 sin
y
x
p
=
+
.
1.41.
 Funksiyalàrni o‘sish và kàmàyishgà tåkshiring:
1) 
y 
= 
sin
2
x 
+ 
1;        2) 
y 
= 
cos3
x 
- 
cos5
x 
+ 
6
x
;
3) 
y 
= 
(cos2
x 
+ 
3)(1
 
- 
4sin
x
); 4) 
1
1
2
2
cos
sin
3
7
y
x
x
x
=
-
+
-
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

25
1.42.
 Funksiya 
x
 ning qàysi qiymàtlàridà àniqlànmàgàn?
1) 
y
x
=
1
sin
;
2) 
y
x
=
1
cos
;
3) 
y
x
x
=
-
cos
sin
1
;
4) 
y 
= 
0,8sin
2
x 
- 
0,75;
5) 
y
x
x
=
+
-
2
1
2
1
sin
cos
.
1.43.
  Quyidàgi  funksiyalàrning  eng  kichik  musbàt  dàvrini
tîping:
1) 
y 
= 
cos4
x
;
                     2) 
y 
= 
10cos0,5
x
;
3) 
(
)
y
x
=
-
2
3
6
cos
p
;                    4) 
y 
= 
9cos(
w
t 
+ j
),
 w
 
¹ 
0;
5) 
(
)
4
30 sin 5
y
x
p
= -
+
;                   6) 
(
)
3
2
6
sin
2
y
x
p
=
-
;
7) 
(
)
5
3
6
sin 4
y
x
p
=
p +
;                 8) 
y 
= 
A
sin(
w
t 
+ j
), 
A
Î
R
,
 w
 
¹ 
0;
9) 
(
)
y
x
x
=
-
+
10
4
8
5
4
cos
sin
p
;         10) 
y
x
x
= -
+
10
4
2
2
cos
sin
;
11) 
y 
= 
5cos
x 
sin2
x
;                          12) 
y
x
x
=
-
+
sin
cos
2
2
.
1.44.
  Funksiyalàrning  àniqlànish  sîhàsini  tîping,  màksimàl
và  minimàl  qiymàtlàrini  hisîblàng;  àgàr 
õ
  ning  qiymàti 
p
/6
dàn 
p
/3 gàchà îrtsà, funksiya qàndày o‘zgàràdi?
  1) 
( )
6
sin
y
x
p
=
-
;
2) 
y 
= 
cos(45
°
 
- 
x
).