O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

4.23. 
x 
= 
1. 
4.28.
 1) 1; 2) 1,5; 3) 
4
3
; 4) 
5
6
; 5) 
8
7
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

389
6) 
1
3
. 
4.29.
 1) 
2
3
; 2) 2; 3) 
3
4
; 4) 15; 5) 1; 6) 
2
9
; 7) 
1
5
; 8) 
3
5
; 9)  2 ; 10) 5;
11) 1; 12) 
1
6
; 13) 3; 16) 12; 17) 
2
π
; 18) 1. 
4.30.
 1) 
e
3
; 2) 
e
56
; 3) 4; 4) 
9
7
.
V b î b
5.2
. Êo‘rsàtmà: qirràning 
x
 uzunligi và 
∆
x
îrttirmàgà muvîfiq hàjmning 
∆
V 
o‘zgàrishi
jàdvàldà ko‘rsàtilgàn.
5.11.
 
′
=
−
+
′
=
f x
x
x
f
( )
,
( )
,
3
10
0
10
2
6
5
 
f
f
( )
, ,
( )
, .
− =
′
=
1
14 2
1
11 8
 
5.13.
Êo‘rsàtmà:
∆
∆
x
h
y
h
x h
x
h
x h
x
x h
x h x
x
h
x h
x h x
x
x h
x h x
x
=
=
=
=
+ −
+ −
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
,
.
(
)( (
)
(
)
)
( (
)
(
)
)
(
)
(
)
 
3
3
3
3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
1
Jàvîb: 
′ =
y
x
1
3
2
3
. 
5.16
. Êo‘rsàtmà: 
′
=
=
−
h t
t
gt
( )
( )
v
v
0
, 
v
v
0
0
2
=
−
gt
, bundàn
t
 àniqlànib, 
h
(
t
) ifîdàgà qo‘yilàdi. Jàvîb: 5,234375 
≈
 5,234 m. 
5.22
. Ê o ‘ r s à t m à :
x
x
2
4
1
2
−
+ = −
 bo‘yichà 
x
0
1
=
 và 
x
0
3
=
 àniqlànàdi. (1; 
−
2) và (3; 
−
2) nuqtà-
làrdà bårilgàn egri chiziqqà urinuvchi to‘g‘ri chiziqlàr 
y
 
= −
2
x
 và 
y 
= 
2
x
 
− 
8. 
5.31
.
y 
= 
6
x
 
− 
4, 
d
=
37
3
. 
5.32
.
 
y 
= 
12
x 
− 
28. 
5.33.
 Ê o ‘ r s à t m à :  
x
x
3
1
1
2
3
4
1
4
−
−
= − ⇒
⇒ − −
+
=
x
x
3
1 1
1
0
3
4
3
4
. Endi ko‘pàytuvchilàrgà àjràting. Jàvîb: 
y
 
=
1,25
x
 
− 
3,25,
y
 
= 
5
x
 
+ 
5,5 , 
y
 
= −
x
 
− 
1,5. 
5.41
. 
v
(
t
)
 = 
x
′
(
t
)
 = 
10
 − 
0,6
t
, 
v
(6)
 = 
10
 − 
3,6
 = 
6,4 (m/s);
10
 − 
0,6
t
 = 
0, bundàn 
t
=
16
2
3
 (s). 
5.44
. (
u
v
w
)
′=  = 
u
′
v
w 
+ 
u
v
′
w 
+ 
u
v
w
 
′
. 
5.45
.
Ê o ‘ r s à t m à :  
k
 
= 
tg45
°
 
= 
1, 
′ =
− ′ =
−




′
=
y
x
x
(
)
3
1
3
1
1
1
3
2
3
1
x
k
=
=
, bundàn
x
= ±
3 3 . Endi 
y
x
=
−
3
1  munîsàbàtdàn fîydàlàning. 
5.47
. Ê o ‘ r s à t m à :
f a h
f a
f a h
(
)
( )
( )
+
≈
+ ′
  dàn  fîydàlàning.  Chåtlànish 
α
h
  gà  tång,  bundà
a
f a
f
h
=
− ′
∆
( ). 
5.51
. 1) 
−
4
3
cos
sin
x
x
; 2) 
tg
x
x
cos
; 3) 
−
4tg2
x
x
sin2
; 7)  (
)cos
x
x
x
3
6
5
+ +
.
5.55
.  2) 
(
)
5
5
3
cos
x
+
π
;  3) 
(
) (
)
42
7
7
2
2
2
6
6
x
x
x
sin
cos
−
−
π
π
;  10) 
−
cos 1
2
x
x
;  11)
cos(sin
x
)cos
x
; 12) 
1
4
2
2
2
tg
x
x
⋅
cos
; 13) 
x
x
x
cos 1
1
2
2
+
+
; 14) 
x
x
x x
x x
2
2
2
1
2
1 1
1
−
+



 +
+




cos
tg
;
15) 
sin
(
)
21
1
1
−
+




+
x
x
x
x
.
  5.59
. 
s
2
. 
5.60
.  8) 
π
2
1
2
2
(arccos )
x
x
−
;  9)  arcsin
x
;  10)
sin
x
 ⋅ 
arctg
x
 + 
x
 ⋅ 
cos
x
 ⋅ 
arctg
x
 + 
x
x
x
sin
1
2
+
;  11) 
arctg
x
x
x
x
2
1
2
+
+
;  12) 
−
−
2
4
2
x x
;
            ∆
x
1
0,5
0,2
x
1
7
2,375
0,728
5
91
41,375
15,608
10
331
157,625
61,218
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

390
13) 
−
+
−
1
1
2 1
(
)
(
)
x
x
x
. 
5.63
. 11) Êo‘rsàtmà: 
1
9
20
2
48
x
x
+
+



 =
 
(
)
1
4
1
5
48
x
x
+
+
−
=
= 
(3-b, (1)) munîsàbàt bo‘yichà 
−
+
+
+




=
1
4
1
5
2
2
47
(
)
(
)
...
x
x
.
 5.65
.  
′ = =
s
A
T
t
T
v
2
2
π
π
cos
,
′′ = ′ = −
s
A
T
t
T
v
4
2
2
2
π
π
sin
  yoki 
′′ = −
s
s
T
4
2
2
π
. 
5.66
.  1)  2
x
ln2;  2)  4
−
x
(1
 − 
x
ln4);
3) 10
x
(1
  + 
x
ln10);  4) 
e
x
(cos
x
  − 
sin
x
);  5) 
−
+
sin
cos
x
x
e
x
;  6) 
−
⋅
+
2 10
10
1 10
2
x
x
ln
(
)
;
7)
e x
x
x
(
)
(
)
−
+
1
1
2
2
2
; 8) 2
x
ln2
 ⋅ 
cos(2
x
). 
5.67
. 1) 
2
3
3
x
x
x
log
ln
+
; 2)  2 ln
x
x
; 3)  ln
ln
x
+
1
10
;
4) 
x
x x
x
x
ln
ln
ln
− +
1
2
2 ; 5) sin
x
ln
x
 + 
x 
cos
x 
ln
x
 + 
sin
x
; 6) 
−
1
2
x
x
ln
; 7) 
−
+
2
1
2
x
x
( ln )
;
8) ctg
x
. 
5.68
. 1) 
(
)(
)
(
)
x
x
x
+
+
+
2
4
3
2
; 2) 
(
)
(
)
3
1
2
2
−
−
x x
x
; 3) 
1
2
2
1
2
2
−
+
x
x
(
)
; 4) 
−
+
4
3 4
1
2
2
3
3
x
x
(
)
;
5) 
−
−
x
x
1
2
; 6) 
mx
x
m
m
−
+
−
1
1
1
(
)
; 7) 
−
+
2
3 1
2 4
3
x
x
(
)
; 8) 
3
2 1
2
−
−
x
x
(
)
. 
5.69
. 1) Êo‘rsàtmà:
′ =
+
+
=
y
x
x
(
)
3
2
6
 3
2
0
2
x
x
+
=
, buning ildizlàri 
x
0
0
2
3
=
−
,  
. U hîldà :
x
 
< 
0
x
 
= 
0
x
 
> 
0
x
< −
2
3
x
= −
2
3
x
> −
2
3
y 
′
 
< 
0
y 
′
 
= 
0
y 
′
 
> 
0
y 
′
 
> 
0
y 
′
 
= 
0
y 
′
 
< 
0
y
min
=
+
+ =
0
0
6 6
3
2
; 
( ) ( )
y
max
= −
+ −
+ =
2
3
2
3
4
27
3
2
6 6
; 9) 
x
b
a
0
2
= −
, 
a
 
> 
0 dà
eng kichik qiymàt 
4
4
2
ac b
a
−
, 
a
 
< 
0 dà eng kàttà qiymàt 
4
4
2
ac b
a
−
. 
5.70
. 2) eng kàttà
qiymàti 
f 
(3)
 = 
1,  eng  kichik  qiymàti 
f 
(
−
3)
 =  −
971,4. 
5.73
.
 
x
y
P
P
=
=
2
2
,
,
 
S
P
max
=
2
8
. 
5.74
.  2;  2;  2 2 .
  5.75
. 
x
=
2
3
. 
5.76
. 
x 
=
  r
  dà  (
r
 
> 
0). 
5.78
.
f x
x
x
2
14 2
2 16
( )
(
)(
)
=
+
−
−
 funksiya 
x
 ning qàndày qiymàtidà eng kàttà qiy-
màtgà egà bo‘lishini àniqlàymiz. 
x
 
− 
2 và 16
 
− 
x
 ko‘pàytuvchilàr musbàt, ulàr-
ning  yig‘indisi  14  gà  tång,  ya’ni  dîimiy  sîn.  Dåmàk,   
f
2
(
x
)  funksiya, 
f
 
(
x
)
funksiya hàm eng kàttà qiymàtni 
x
 ning 
x
 
− 
2
 
= 
16
 
− 
x
 tånglikni qànîàtlàntiràdigàn
qiymàtidà qàbul qilàdi. Bu 
x
 
= 
9, undà  
f 
2
(
x
)
 
= 
28. Izlànàyotgàn eng kàttà qiymàt
f
( )
9
28
=
. 
5.80
. Êo‘rsàtmà: 
x
 ≤ 
1, 1
 < 
x
 ≤ 
2, 2
 ≤ 
x
 ≤ 
3, 3
 ≤ 
x
 < 
4, 
x
 ≥ 
4 hîllàrini
qàràng.  Jàvîb:  2
  ≤ 
x
  ≤ 
3  bo‘lishi  shàrti  bilàn 
f
  = 
4. 
5.81
.  Ê o ‘ r s à t m à :
uchburchàkning  àsîsi  và  bàlàndligi  o‘zgàrmàs  ekànligidàn  fîydàlàning  và
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

391
AB
  = 
a
, 
CD
 = 
h
  dåb  qàbul  qiling.  Eng  kàttà  qiymàt 
KL
  chiziq  o‘rtà  chiziq
bo‘lgàndà hîsil bo‘làdi. 
5.85
.
 
1) 
∆
f
 = 
f 
(2)
 − 
f
 
(1)
 = 
9; 
∆
x
 = 
2
 − 
1
 = 
1; (1) fîrmulà
bo‘yichà 
′
= =
f c
( )
9
1
9 .  Låkin 
′ =
+
f
x
3
2
2
,  bundàn 
x
 
= 
c
  dà 
3
2
9
2
c
+ =
,
c
= ±
7
3
,  nihîyat, 
c
∈
[1;  2]  bo‘lgànidàn 
c
=
7
3
;  3)  quyi  tîmîn  yo‘nàlgàn;
4) (0; 
+∞
)  dà  qàvàriqligi  bilàn  yuqîrigà,  (
−∞
;  0)  dà  quyigà  yo‘nàlgàn. 
5.88
.
1) (
−∞
; 
+∞
) dà o‘sàdi; 2) (
−∞
; 
+∞
) dà o‘sàdi; 3) (
−∞
; 2) dà o‘sàdi, (2; 3) dà
kàmàyadi, (3; 
+∞
) dà o‘sàdi.
 5.103
. 2) 
−
1,66; 0,25; 2; 1.
V
 
I  b î b
6.7
.  2)  Ê o ‘ r s à t m à :   2
x
 
=
 
t
; 
e
x
C
2
2
+
. 
6.13.
  1) 
1
4
1
2
2
2
sin
cos
x
x
x C
−
+
;
2)
x
x
x C
sin
cos
+
+
; 3) 
− +
+
(
)
x
e
x
C
1
; 4) 
3
3
2
3 1
x
x
C
ln
( ln
)
−
+
; 5) 
x
ln
x 
−
 x
 
+
C
;
6) 
x
x
x
C
2
4
2
4
ln
−
+
;  7) 
e
x
x
x
C
2
(sin
cos )
+
+
;  8) 
e x
x
C
x
(
)
2
2
2
−
+
+
;
9)
x
x
x
x
x C
ln
ln
2
2
2
−
+
+
. 
6.16.
 7)  8
2
3
;  8) 
−
3; 9) 
2
3
4
−
; 10)  11,25.
  6.18
.
2)
π
3
; 4) 
π
4
; 5) 17
1
3
. 
6.19
. 2) 1
1
3
; 4) 2
2
3
; 6) 
8
9
. 
6.22
. 
A
 
= 
3, 
B
 
= 
0. 
6.30
. 64,8.
V
 
I
 
I  b î b
7.4.
 
s
t
s
gt
=
+
+
2
0
0
2
v
, bu yerdà 
v
v
0
0
0
0
=
=
( ), ( )
t
s
s
 
. Ê o ‘ r s à t m à .  
F
 
=
 
ma
,
P
 
=
 
mg
  và 
F
 
=
 
P
  munîsàbàtlàrdàn  fîydàlàning. 
7.6.
 
y
e
x
=
2
.  Ê o ‘ r s à t m à .
y
 
′
 
=
 
2
xy
 và 
y
(0)
 
=
 
1 dàn fîydàlàning. 
7.15.
 1) 
y
x
C
x
=
−
1
3
3
(
) ; 2) 
y
x
Cx
=
+
2
3
;
3) 
y
x C
x
=
+ ⋅
sin
tg
2
. 
7.16.
 
y
x
x
=
+
cos
1 . 
7.17. 
y
(0)
 
=
 
1 shàrtni qànîàtlàntirà-
digàn yechim màvjud emàs.
V
 
I
 
I
 
I  b î b
 
8.3.
 3
 ⋅ 
4 
=
 12. 
8.4.
 8; 6. 
8.5.
 24. 
8.10. 
A
A
7
3
3
3
⋅
=
 7
 ⋅ 
6
 ⋅ 
5
 ⋅ 
3
 ⋅ 
2
 ⋅ 
1 
=
 1260. 
8.18.
C
20
4
4845
=
. 
8.19.
 
C
5
2
10
=
. 
8.20.
 
C
C
10
3
12
3
26400
⋅
=
. 
8.21.
 
C
49
5
. 
8.28.
 1)
 k
 
=
 
k
1
 
+
 
k
2
 
+
+
 
k
3
 
=
 
4, 
k
i
 
=
 
0, 1, 2, 3 (
k
1
,
 k
2
,
 k
3
) kîrtåjlàrni tuzàmiz: (4, 0, 0), (0, 4, 0),
(0,  0,  4),  (3,  1,  0),  (3,  0,  1),  (1,  3,  0),  (1,  0,  3),  (0,  3,  1),  (0,  1,  3),
(2, 2, 0), (2, 0, 2), (0, 2, 2), (1,  1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1). Yoyilmàdà jàmi
15  tà  hàd  bîr.  Hàdlàrdàn  iõtiyoriy  birini,  màsàlàn,  (2,  1,  1)  kîrtåjgà
mîsini  tîpàmiz.  Uning  kîeffitsiyånti: 
P
(2,  1,  1)
 
=
 
(
k
!)/(
k
1
!
  ⋅ 
k
2
!
  ⋅ 
k
3
!)
 
=
=
 
(4!)/(2!
  ⋅ 
1!
  ⋅ 
1!)
 
=
 
12.  Izlànàyotgàn  hàd  12
a
2
bc
  ko‘rinishdà  bo‘làdi.
8.31. 
C
5
8
=
 
(12!)/(8!
 ⋅ 
4!)
 
=
 
(9
 
⋅
 
10
 
⋅
 
11
 
⋅
 
12)/(1
 ⋅ 
2
 ⋅ 
3
 ⋅ 
4) 
=
 495 và sh.o‘. 
8.32.
 3) 
C
9
4
 ⋅ 
10!.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

392
8.37.
 
C C
4
2
5
3
⋅
⋅ 
5!
 
=
 
7200. 
8.38.
 
C C
C
5
3
6
4
4
3
⋅
⋅
. 
8.39.
 9
 ⋅ 
9!. 
8.40.
 
C C
6
3
9
3
6
⋅
⋅
! . 
8.46.
 
P
5
 
=
=
 
5!
 
=
 
120. 
8.47.
 
P
(2, 2, 1, 1, 1)
 
=
 
(7!)/(2!
 ⋅ 
2!
 ⋅ 
1!
 ⋅ 
1!
 ⋅ 
1!)
 
=
 
1260. 
8.48.
 9
4
. 
8.49.
C
C
C
C
21
4
17
4
13
4
9
5
⋅
⋅
⋅
. 
8.53.
 84. 
8.55.
 
A
33
4
982080
=
.
I
 
X  b î b
9.8.
  {
A
0
, 
À
1
, 
À
2
, 
À
3
, 
À
4
, 
À
5
, 
À
6
, 
À
7
, 
À
8
, 
À
9
, 
À
10
},  bundà 
À
i
 
  –  gårb 
i
  màrtà
tushdi. 
9.19.
 1) 
À

B 
= ∅
; 3) 
À

B 
= ∅
 yoki 
À 
= ∅
; 4) 
À
⊂
B
. 
9.20.
 Yo‘q. 
9.24.
 2)
Ê
; 7) 
Ì
. 
9.31.
 0,77. 
9.39.
 
(
) (
)
A
A B
A B
=



, bundà 
À

B
 và 
A B

 bîg‘liq
emàs. 
P
(
A
) 
=
  P
(
A

B
)
 +
 
P
(
A B

)  và  shàrt  bo‘yichà 
P
(
A

B
) 
=
  P
(
A
)
 ⋅ 
P
(
B
)
bo‘lgànidàn 
P
(
A B

) 
=
 P
(
A
)
 
−
 P
(
A

B
)
 
=
 
P
(
A
)
 
−
 
P
(
A
)
 
⋅
 
P
(
B
)
 
=
 
P
(
A
)
 
⋅
 
(1
 
−
 
P
(
B
))
 
=
=
 
P
(
A
)
 
⋅
 
P
(
B
). 
9.41.
 Êo‘rsàtmà: 
(
)
(
)
(
)
P A B C
P B A C
P C A B
+
+
 
 
 
  ni
hisîblàng; 4) 
P
(
A
1

A
2

A
3
) 
=
 P
(
A
1
)
 ⋅ 
P
(
A
2
)
 ⋅ 
P
(
A
3
) 
=
 
0,7
 ⋅ 
0,6
 ⋅ 
0,6 
=
 
0,252. 
9.43.
P
(
A

B

C
)
 
=
 
P
(
A
)
 
⋅
 
P
(
B
)
 
⋅
 
P
(
C
)
 
=
 
0,9
 
⋅
 
0,8
 
⋅
 
0,7
 
=
 
0,504. 
9.45.
 
À
1 
– «birinchi bo‘-
làkni  ikkinchi  bo‘làk  bilàn  birlàshtirish»gà  qîlgàn  2
n
 
− 
1  tà  bo‘làkdàn
bittàsi imkîn båràdi, dåmàk, 
P
(
A
1
)
 
= 
1/(2
n
 
− 
1); 
À
k
 – 
«k
- bo‘làkning qîlgàn
2
n 
− 
(2
k 
− 
1) tàsining  bittàsi bilàn  ulànish  ehtimîlligi 
P
(
A
k
)
 
= 
1/(2
n 
−
− 
(2
k 
− 
1)).  O‘zàrî  bîg‘liq  hîdisàlàr  ehtimîlliklàrini  ko‘pàytirish  fîrmulàsi
bo‘yichà i zlànàyot gàn eht imîl lik:  
P
n
n
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ =
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
2
1
1
2
3
1
3
1
1
1
99 97 3 1
...
...
.
9.49.
 
P 
=
 0,4
 ⋅ 
0,4
 ⋅ 
0,4
 ⋅ 
0,6 
=
 0,0384. 
9.70.
 Êo‘rsàtmà: 
n
 
=
 60, 
x
max
 
=
 7, 
x
min
 
=
 1,
λ =
=
−
7 1
60
0 1
, . 
9.71.
 
β ≈
 65
0
36
′
03
′′
, 
σ
(
β
) 
≈
 1
′′
,9. 
9.83.
 2) (
C
C
20
1
10
1
+
)/
C
20
2
 
=
 48/95.
9.85.
 
À
 – «uch îtishdà kàmidà biri nishîngà tågdi» ehtimîlligi 
P
(
À
)
 = 
1
 −
− 
q
3
 = 
0,8, bundàn 
q
 = 
0 2
3
,
 ≅
 0,5848. 
9.86.
 
P
 = 
1
 − 
0,2
 ⋅ 
0,3
 ⋅ 
0,4
 ⋅ 
0,5
 = 
0,88. 
9.87.
n
 = 
5, 
m 
≥ 
2, 
p
 = 
0,6, 
q
 = 
0,4, 
P
5
(
m
 ≥ 
2)
 = 
1
 − 
P
5
(
m
 < 
2)
 = 
1
5
0
2 1
−
=
=
−
∑
P m
m
( ) 1
 − 
P
5
(0)
−
− 
P
5
(1)
 = 
1
 − 
C
5
0
p
0
q
5
 − 
C
5
1
pq
4
 = 
0,912.
X  b î b
10.1.
   
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
12
13
14
15
21
22
23
24
25
31
32
33
34
35










. 
10.2.
 
(
)
A
B
=
=












1 1 1 1
0
0
0
0
, 
. 
10.3.
C
=






3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
. 
10.4.
 1) 
(
)
3 5 5 9 ; 2) 
(
)
1
3 3 6
−
; 3) 
(
)
44 51 58 65 ;
4) 
(
)
−
−
−
−
4
3
23
17 . 
10.5.
 
1 1 1
1 1 1
1 1 1










. 
10.7.
  1) 
−
−






2 2
1
2
5
9
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

393
2)
−
−
−






4 2 9
4
3 3
; 3) 
−






10 8 0
2
12 26
; 4) 
−
−






3 4
4
7
14 23
. 
10.9.
 1) 
5
3
13
3
8
3
2
3
2
3
1
3
17
3
3
0
−
−
−
−












.
10.28.
  Ìàvjud  emàs. 
10.29.
  4) 
1
2
7
0
1
2
0
0
1
−
−










;  5) 
1
3 11
38
0
1
2
7
0
0
1
2
0
0
0
1
−
−
−
−












;
6) 
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
−
−
−
−
−
−
















. 
10.30. 
1) 
2
23
0
8
−






.  Ê o ‘ r s à t m à :  tånglàmàning
hàr ikki qismini hàm 
2 5
1 3
1






−
 màtritsàgà chàpdàn ko‘pàytiring; 4) k o ‘ r s à t m à :
tånglàmàning hàr ikki qismini hàm 
1 2
3
0 1
2
0 0
1
1
−










−
 màtritsàgà o‘ngdàn ko‘pàytiring.
10.32.
 1)
 
x
1
 = 
2, 
x
2
 = 
1, 
x
3
 = 
3; 2) 
x
 = 
y 
= 
z
 = 
0; 3) 
x
1
 = 
3, 
x
2
 = 
1, 
x
3
 
=
 
1;
4) 
x
 
=
 
y 
= 
z
 
=
 
0. 5) 
x
 =
3
2
7
, 
y
 =
3
7
, 
z 
= 
1
5
7
. 6) 
x
1
 
=
 
x
2
 
= 
x
3
 
= 
0. 7) 
x
1
 
= 
3, 
x
2
 
= −
4,
x
3
= −
1, 
x
4
 
= 
1. 8) 
x
1
 
= 
x
2
 
= 
x
3
 
= 
x
4
 
= 
0. 9) 
x
1
 
= 
x
2
 
= 
x
3
 
= 
x
4
 
= 
x
5
 
= 
0. 10) 
x
1
 
=
 
2, 
x
2
 
= 
0,
x
3
 
=
 
−
2, 
x
4
 
=
 
−
2, 
x
5
 
=
 
1. 
10.41.
 1) (1; 12; 16); 2) (1; 2; 3; 0). 
10.42.
 1) 
y 
= 
x
1
 
+
+ 
2
x
2
 
+ 
3
x
3
. 2) 0
 
⋅
 
x
1
 
+ 
1
3
 
⋅
 
x
2
 
+ 
x
3
. 
10.43.
 1) Yo‘q. 2) Hà. 
10.44.
 1) Fàqàt bir õil
usuldà  yoyish  mumkin.  2)  Fàqàt  bir  õil  usuldà  yoyish  mumkin. 
10.49.
  1)
(2; 1; 1). 3) (3; 0; 0). 5) (1; 2; 3).
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

394
A D A B I Y O T
1. Abduhamidov A., Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.
I qism, «Istiqbol», T., 2000.
2. Abduhamidov A., Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.
II qism. «Istiqbol», T., 2000.
3. Abduhamidov  A.,  Musurmonov  O.L.,  Nasimov  H.A.  Matematika
tarixidan lavhalar. «Matbaa tongi», T., 2000.
4. Alimov Sh.A va b. Algebra va analiz asoslari, 10–11. «O‘qituvchi», T., 1996.
5. Áàøìàêîâ Ì.È. Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëè
ç
à, 10–11. «
Ï
ðî
ñ
âå
ù
åíèå»,
Ì., 1999.
6. Áîë
òÿ
í
ñ
êè
é
 
Â
.
Ã
. è 
ä
ð. 
Ë
åê
ö
èè è 
ç
à
ä
à÷è 
ï
î 
ý
ëåìåí
ò
àðíî
é
 ìà
ò
åìà
ò
èêå.
«
Í
à
ó
êà», Ò., 1972.
7.
Â
åðå
ñ
îâà 
Å
.
Å
. è 
ä
ð. 
Ï
ðàê
ò
èê
ó
ì 
ï
î ðåøåíè
þ
 ìà
ò
åìà
ò
è÷å
ñ
êèõ 
ç
à
ä
à÷.
«
Ï
ðî
ñ
âå
ù
åíèå», Ì., 1979.
8.
V
ilenkin N.Ya. va b. Algebra va matematik analiz, 10. «O‘qituvchi», Ò., 1992.
9. Galitskiy M.L. và b. Algebra va matematik analiz kursini chuqur o‘rganish.
«O‘qituvchi»,  Ò.,  1985.
10.
Ã
ëå
éç
åð 
Ã
.
Ä
. è 
ä
ð. Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëè
ç
à. «
Ï
ðî
ñ
âå
ù
åíèå», Ì., 1989.
11.
Ã
íå
ä
åíêî Á.
Â
. è 
ä
ð. 
Ý
ëåìåí
ò
àðíîå ââå
ä
åíèå â 
ò
åîðè
þ
 âåðî
ÿò
íî
ñò
å
é
.
«
Í
à
ó
êà», Ì., 1982.
12. Gnedenko B.
V
. va b. «Yosh matematik» qomusiy lug‘ati. «O‘zME», T., 1992.
13.
Ã
îâîðîâ 
Â
.Ì.  è 
ä
ð. 
Ñ
áîðíèê  êîíê
ó
ð
ñ
í
û
õ 
ç
à
ä
à÷ 
ï
î  ìà
ò
åìà
ò
èêå.
«
Í
à
ó
êà», Ì., 1983.
14. Guter 
R
.S. va b. Differensial tenglamalar. «O‘qituvchi», T., 1979.
15. Êàð
ï
  À.
Ï
. 
Ñ
áîðíèê 
ç
à
ä
à÷ 
ï
î àëãåáðå è íà÷àëàì àíàëè
ç
à. «
Ï
ðî
ñ
âå-
ù
åíèå», Ì., 1995.
16.
K
olmogorov A.N. va b. Algebra va analiz asoslari, 10–11. «O‘qituvchi»,
T., 1992.
17.
Ï
î
ò
à
ï
îâ  Ì.Ê.  è 
ä
ð.  Àëãåáðà  è  àíàëè
ç
 
ý
ëåìåí
ò
àðí
û
õ 
ôó
íê
ö
è
é
.
«
Í
à
ó
êà», Ì., 1981.
18. To‘laganov T.
R
. Elementar matematika. «O‘qituvchi», T., 1997.
19. U m i r b e k o v   A . U .   S h a a bz a l o v   S h . S h .   Matematikani  takrorlang.
«O‘qituvchi», T., 1989.
20. Shneyder 
V
.Ye. va b. Oliy matematika qisqa kursi. I tom. «O‘qituvchi»,
T., 1985.
21. Bittinger L.Marlin, Beecher A.Judith. Development Mathematics.
Addison-
W
esley. Indiana University, USA, 2000.
22. Nassiet S., Torte D., 
R
ivoallan L. Mathematikyes Analyse. Didier,
P
aris, 1995.
23. Donkemts G. Mathematikyes Analyse. Didier, 
P
aris, 1995.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

395
Ì U N D À R I J À
So‘zbîshi ..............................................................................................
3
I b î b. ÒRIGÎNÎÌEÒRIÊ FUNKSIYALAR
1- §. Sînli àrgumåntning trigînîmåtrik funksiyalàri ...................................
4
1.
  Burchàklàr  và  yoylàr  (4). 
2.
  Burchàk  và yoylàrning  ràdiàn o‘lchîvi.
Êîîrdinàtàli àylànà (8). 
3.
 Sînli àrgumåntning sinusi, kîsinusi, tàngånsi
và kîtàngånsi (12). 
4.
Òrigînîmåtrik funksiyalàrning dàvriyligi (18). 
5.
 Sinus
và  kîsinus  funksiyalàrning  õîssàlàri  (20). 
6.
  Òàngåns  và  kîtàngåns
funksiyalàrning õîssàlàri (25).
2- §. Òrigînîmåtrik funksiyalàrning gràfiklàri ..........................................
29
1.
 Sinus và kîsinus funksiyalàrning gràfigi (29). 
2.
 Sinusîidàl tåbrànishlàr
(32). 
3.
Òàngåns và kîtàngåns funksiyalàrning gràfigi (33).
3- §. Qo‘shish fîrmulàlàri .....................................................................
35
1.
  Ikki  burchàk  àyirmàsining  và  yig‘indisining  kîsinusi  và  sinusi  (35).
2.
  Ikki  burchàk  yig‘indisi  và  àyirmàsining  tàngånsi  và  kîtàngånsi  (37).
3.
 Êåltirish fîrmulàlàri (39). 
4.
 Ikkilàngàn và uchlàngàn àrgumåntning
trigînîmåtrik  funksiyalàri  (41). 
5.
  Yarim  àrgumåntning  trigînîmåtrik
funksiyalàri (44). 
6.
 Òrigînîmåtrik funksiyalàrni yarim àrgumånt tàngånsi
îrqàli ifîdàlàsh (46). 
7.
 Òrigînîmåtrik  funksiyalàr yig‘indisini ko‘pàytmàgà
và ko‘pàytmàsini yig‘indigà àylàntirish (47). 
8.
 Gàrmînik tåbrànishlàrni
qo‘shish  (51).
4- §. Òrigînîmåtrik tånglàmàlàr và tångsizliklàr ......................................
53
1.
 sin
α =
 
m
 ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmà. Àrksinus (54). 
2.
 cos
α =
 
m
ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmà. Àrkkîsinus (57). 
3.
 tg
α =
 
m
 và ctg
α =
 
m
ko‘rinishdàgi  eng  sîddà  tånglàmàlàr.  Àrktàngåns  và  àrkkîtàngåns  (61).
4.
 Òånglàmàlàrni yechishning àsîsiy usullàri (63). 
5.
 Õususiy usullàr (66).
6.
 Univårsàl àlmàshtirish (72). 
7.
 Òrigînîmåtrik tånglàmàlàr siståmàsi (74).
8.
 Òrigînîmåtrik tångsizliklàrni isbîtlàsh (75). 
9.
 Eng sîddà trigînîmåtrik
tångsizliklàrni yechish (77). 
10.
 Òrigînîmåtrik tångsizliklàrni intårvàllàr
usuli  bilàn yechish  (81). 
11.
  Òrigînîmåtrik  funksiya  qiymàtini  tàqribiy
hisîblàsh (83).
5- §. Òåskàri trigînîmåtrik funksiyalàr ...................................................
84
1.
  Àrkfunksiyalàr  và  ulàrning  àsîsiy  õîssàlàri  (84). 
2.
  Àrkfunksiyalàr
qàtnàshgàn  àyrim  àyniyatlàr  (89). 
3.
  Òåskàri  trigînîmåtrik  funksiyalàr
qàtnàshgàn  tånglàmàlàr  và  tångsizliklàr  (91).
II b î b. NÎSTÀNDÀRT TÅNGLÀMÀLÀR, TÅNGSIZLIKLÀR VÀ
            ULÀRNING SISTÅMÀLÀRI
1- §. Nîstàndàrt tånglàmàlàr ................................................................
98
2- §. Nîstàndàrt tångsizliklàr ...............................................................
102
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

396
3- §. Nîstàndàrt siståmàlàr ..................................................................
107
III b î b. SÎNLI ÊEÒÌÀ-ÊEÒLIÊLÀR VÀ ULÀRNING LIÌIÒI
1- §. Chåksiz sînli kåtmà-kåtliklàr ........................................................
111
1.
 Êåtmà-kåtlik tushunchàsi (111). 
2.
 Chågàràlàngàn kåtmà-kåtliklàr (114).
3.
 Ìînîtîn kåtmà-kåtliklàr (117). 
4.
 Prîgråssiyalàr (120).
2- §. Êåtmà-kåtlikning limiti .................................................................
113
1.
 Êåtmà-kåtlikning qirqimi. Chåksiz kichik kåtmà-kåtliklàr (126). 
2.
 Chåksiz
kichik kåtmà-kåtliklàr hàqidàgi àsîsiy tåîråmàlàr (128). 
3.
 Chåksiz kàttà
kåtmà-kåtliklàr (131). 
4.
 Êåtmà-kåtlikning limiti (133). 
5.
 Limitlàr hàqidà
àsîsiy  tåîråmàlàr  (136). 
6.
  Ìînîtîn  kåtmà-kåtlikning  limiti  hàqidàgi
tåîråmà (140).
IV b î b. FUNÊSIYANING LIÌIÒI VÀ UZLUÊSIZLIGI
1- §. Funksiyaning limiti .......................................................................
143
1.
 Funksiyaning  nuqtàdàgi  bir tîmînlàmà limiti (143). 
2.
 Funksiyaning
nuqtàdàgi limiti (148). 
3.
 Funksiyaning nuqtàdàgi limiti hàqidàgi àsîsiy
tåîråmàlàr (152). 
4.
Funksiyaning chåksizlikdàgi limiti (156). 
5.
 Funksiya
gràfigining  àsimptîtàsi  (160).
2- §. Funksiyaning uzluksizligi ...............................................................
163
1.
 Funksiyaning nuqtàdà uzluksizligi và uzilishi (163). 
2.
 Funksiyaning
îràliqdà uzluksizligi (169). 
3.
 Àjîyib limitlàr (173).
V b î b. HÎSILÀ
1- §. Funksiyaning hîsilàsi và diffårånsiàli ..............................................
177
1.
 Funksiya îrttirmàsi (177) 
2.
 Funksiya hîsilàsi (178). 
3.
 Funksiya diffårånsiàli
(184). 
4.
  Funksiya  gràfigigà  urinuvchi  to‘g‘ri  chiziq  (185). 
5.
  Diffå-
rånsiàllànuvchi funksiyaning uzluksizligi (186).
2- §. Funksiyani diffårånsiàllàsh qîidàlàri ...............................................
188
1.
 Chiziqli kîmbinàtsiyalàrni diffårånsiàllàsh (188). 
2.
 Dàràjàli funksiyani
và funksiyalàr ko‘pàytmàsini diffårånsiàllàsh (191). 
3.
 Êàsrni diffårånsiàllàsh
(195). 
4.
Òrigînîmåtrik funksiyalàrni diffårånsiàllàsh (196). 
5.
 Ìuràkkàb
funksiya hîsilàsi (199). 
6.
 Òåskàri trigînîmåtrik funksiyalàrni diffårånsiàllàsh
(201). 
7.
 Yuqîri tàrtibli hîsilàlàr (205). 
8.
 Êo‘rsàtkichli, lîgàrifmik và dàràjàli
funksiyalàrning  hîsilàsi (206).
3- §. Hîsilàning tàtbiqi ........................................................................
209
1.
 Funksiyaning ekstråmumlàrini àniqlàsh (209). 
2.
 Funksiyaning kåsmàdàgi
eng kàttà và eng kichik qiymàtlàrini tîpish (213). 
3.
 Làgrànj tåîråmàsi.
Funksiyaning o‘sishi và kàmàyishi (218). 
4.
 Funksiya gràfigining qàvàriqligi
(221). 
5.
 Funksiya gràfigining bukilish nuqtàlàri (223). 
6.
 Funksiya gràfiklàrini
yasàsh tàrtibi (225). 
7.
Hîsilà yordàmidà tångsizliklàrni isbîtlàsh (229).
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

397
8.
  Nyutîn  binîmi  (232). 
9.
Nyutîn  binîmidàn  tàqribiy  hisîblàshlàrdà
fîydàlànish  (235). 
10.
  Òånglàmàlàrni  tàqribiy  yechish  (Vàtàrlàr  và
urinmàlàr  usullàri)  (237).
VI b î b. INÒEGRÀL
1- §. Àniqmàs intågràl .........................................................................
242
1.
 Intågràllàsh àmàli. Bîshlàng‘ich funksiya (242). 
2.
 Intågràllàsh fîrmulàlàri
(246). 
3.
 O‘zgàruvchini àlmàshtirish usuli (249). 
4.
 Bo‘làklàb intågràllàsh
(252).
2- §. Àniq intågràl ...............................................................................
253
1.
 Egri chiziqli tràpåtsiya yuzi. Bîshlàng‘ich funksiya îrttirmàsi. Àniq intågràl
(253). 
2.
 Nyutîn–Låybnits tåîråmàsi (258). 
3.
 Gåîmåtrik và fizik kàttàliklàrni
àniq intågràl yordàmidà hisîblàsh (263). 
4.
 Àniq intågràlning qiymàtini
tàqribiy hisîblàsh (266).
VII b î b. DIFFERENSIÀL ÒENGLÀÌÀLÀR
1- §. Eng sîddà diffårånsiàl tånglàmàlàr ................................................
270
1.
 Diffårånsiàl tånglàmà hàqidà tushunchà. Diffårånsiàl tånglàmàlàrgà îlib
kåluvchi màsàlàlàr (270). 
2.
 Eng sîddà diffårånsiàl tånglàmàlàrni yechish
(273).
2- §. Birinchi tàrtibli îddiy diffårånsiàl tånglàmàlàr .................................
278
1.
 O‘zgàruvchilàri àjràlàdigàn tånglàmàlàr (278). 
2.
 Birinchi tàrtibli chiziqli
diffårånsiàl tånglàmàlàr (279).
VIII b î b. ÊÎÌBINÀÒÎRIÊÀ ELEÌENÒLÀRI
1- §. Êîmbinàtîrikàning àsîsiy qîidàlàri ...............................................
282
1.
 Êîmbinàtîrikàdà nimà o‘rgànilàdi? (282). 
2.
 Êo‘pàytmàni tîpish qîidàsi
(283).
2- §. Êîmbinàtîrikàning àsîsiy fîrmulàlàri ............................................
285
1.
  O‘rinlàshtirishlàr  (285). 
2.
  Òàkrîrsiz  o‘rin  àlmàshtirishlàr  (288).
3.
 Òàkrîrsiz kîmbinàtsiyalàr (289). 
4.
 Òàkrîrli o‘rin àlmàshtirishlàr (291).
5.
 Òàkrîrli kîmbinàtsiyalàr (296).
IX b î b. EHÒIÌÎLLIÊ NÀZÀRIYASI VÀ ÌÀÒEÌÀÒIÊ
              SÒÀÒISÒIÊÀ ELEÌENÒLÀRI
1- §. Ehtimîllikni hisîblàsh ..................................................................
300
1.
  Ehtimîllik  nàzàriyasi  nimàni  o‘rgànàdi?  (300). 
2.
  Bîshlàng‘ich
tushunchàlàr (301). 
3.
 Ehtimîllikni båvîsità hisîblàsh (302). 
4.
 Hîdisàlàr
àlgåbràsi (306). 
5.
 Hîdisàlàr yig‘indisining ehtimîlligi (309).
2- §. Bîg‘liqmàs hîdisàlàr ....................................................................
312
1.
 Bîg‘liqmàs tàsîdifiy hîdisàlàr (312). 
2.
 Shàrtli ehtimîllik (315). 
3.
 Bårnulli
fîrmulàsi (320). 
4.
 Gåîmåtrik ehtimîlliklàr (321).
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3- §. Ìàtåmàtik stàtistikà elåmåntlàri ...................................................
323
1.
 Bîshlàng‘ich mà’lumîtlàr (323). 
2.
 Àrifmåtik o‘rtàchà qiymat và o‘rtà
kvàdràtik chåtlànish (324). 
3.
 Òàqsimît jàdvàli, gistîgràmmà, pîligîn (325).
4.
 Bîsh to‘plàm, tànlànmà to‘plàm (328).
X b î b. CHIZIQLI ÀLGEBRÀ ELEÌENÒLÀRI
1- §. Ìàtritsàlàr và dåtårminàntlàr .......................................................
333
1.
 Ìàtritsàlàr (333). 
2.
 Êvàdràt màtritsàning dåtårminànti (343). 
3.
 Òåskàri
màtritsà  (349). 
4.
 
n
  nîmà’lumli 
n
  tà  chiziqli  tånglàmàlàr  siståmàsini
màtritsàlàr  yordàmidà  yechish  (352).
2- §. Chiziqli fàzî ................................................................................
354
1.
  Chiziqli  fàzî  tushunchàsi  (354). 
2.
  Chiziqli  erkli  và  chiziqli  bîg‘liq
våktîrlàr (359). 
3.
 Chiziqli fàzîning o‘lchîvi và bàzisi (365).
ÒÅST SÀVÎLLÀRIDÀN NÀMUNÀLÀR ..............................................
369
JÀVÎBLÀR .......................................................................................
381
ADABIYOT ........................................................................................
394
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ÀBDUHÀMIDÎV ÀBDUHÀKIM USMONOVICH,
NÀSIMÎV HUSÀN ÀBDIRÀHIMÎVICH,
NÎSIRÎV UMÀRQUL ÌISIRÎVICH,
HUSÀNÎV JUMÀNÀZÀR HUSANOVICH
ÀLGEBRÀ VÀ ÌÀÒEÌÀÒIÊ
ÀNÀLIZ ÀSÎSLÀRI
II qism
Àkàdåmik litsåylàr uchun dàrslik
7- nashri
 «O‘qituvchi» nashriyot-matbaa ijodiy uyi
Òîshkånt—2008
Ìuhàrrirlar: 
 O‘. Husànîv, N. G‘oipov
Rasmlar  muhàrriri 
  F.  Nekqàdàmbàyåv
Òåõ. muhàrrir 
 T. Greshnikova
Ìusàhhih 
 Z. Sodiqova
Êîmpyutårdà sàhifàlîvchi 
M. Sagdyllayeva
Îriginàl-màkåtdàn bîsishgà ruõsàt etildi 10.04.2008. Bichimi 60
×
90
1
/
16
.
 Êågli 11 shpînli. Òàyms gàrn. Îfsåt bîsmà usulidà bîsildi. Shartli b. t.
25,0.  Nàshr. t. 22,5.  38596 nusõàdà bîsildi. Buyurtmà ¹
O‘zbåkistîn Ìàtbuît và àõbîrît àgåntligining „O‘qituvchi“
nashriyot-matbaa ijodiy uyi. Toshkent—129, Navoiy ko‘chasi 30-uy. //
Toshkent, Yunusobod dahasi, Murodov ko‘chasi, 1- uy.
Shartnoma  09—54—08.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

400
22.14
À 45
Algebra va matematik analiz asoslari:
Akad. litseylar uchun darslik / 
A.U.Abduhamidov
,
H.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov
[
H.A.Nasimovning 
umumiy tahriri ostida];
O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim
vazirligi, O‘rta maxsus, kasb-hunar ta’limi markazi. 7-
nashr. – T.: «O‘qituvchi»
 
NMIU, 2008. Q.I. – 400 b.
I. Abduhamidov A.U. và bîshq.
ÁÁÊ 22.14ÿ722
22.161ÿ722
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Document Outline

• 01
• 02
• 03
• 04
• 05
• 06
• 07
• 08
• 09
• 10
• 11
• 12