O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

2. Chiziqli erkli và chiziqli bîg‘liq våktîrlàr. 
L
 chiziqli fàzîning
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàrini qàràymiz. Ushbu
α
1
x
1 
+ α
2
x
2 
+ 
 ...
 
+ α
k
x
k
                                      (1)
ifîdà 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
  våktîrlàrning kîeffitsiyåntlàri 
α
1
, 
α
2
,  ..., 
α
k
bo‘lgàn 
chiziqli kîmbinàtsiyasi 
dåyilàdi (bu yerdà 
α
1
, 
α
2
, ..., 
α
k
 –
hàqiqiy sînlàr).
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàrning hàr qàndày chiziqli kîmbinàtsiyasi
L
to‘plàmning elåmånti bo‘làdi, chunki elåmåntlàr ustidà chiziqli
àmàllàr  bàjàrish  nàtijàsidà  shu  chiziqli  fàzîgà  tågishli  bo‘lgàn
elåmånt hîsil bo‘làdi.
1-misîl. 
R
4
 fàzîdàgi 
x
1
=
(1; 0; 0; 0), 
x
2
=
(0; 1; 0; 0), 
x
3
=
(0; 0;
1; 0), 
x
4
 
= 
(0; 0; 0; 1) våktîrlàrning kîeffitsiyåntlàri 
α
1
, 
α
2
, 
α
3
,
α
4 
bo‘lgàn chiziqli kîmbinàtsiyasi 
R
4
 fàzîning qàndày våktîrigà
tång bo‘lishini àniqlàymiz.
Y e c h i s h .
α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 
+ α
4
x
4
 
= α
1
(1; 0; 0; 0) 
+ α
2
(0; 1; 0; 0) 
+
+ α
3
(0; 0; 1; 0) 
+ α
4
(0; 0; 0; 1) 
= 
(
α
1
; 0; 0; 0) 
+ 
(0; 
α
2
; 0; 0) 
+
+ 
(0; 0; 
α
3
; 0) 
+ 
(0; 0; 0; 
α
4
) 
= 
(
α
1
; 
α
2
; 
α
3
;
 α
4
).
Shundày qilib, 
x
1
 
= 
(1; 0; 0; 0), 
x
2
 
= 
(0; 1; 0; 0), 
x
3
 
= 
(0; 0; 1;
0), 
    x
4
 
= 
(0; 0; 0; 1) våktîrlàrning kîeffitsiyåntlàri 
α
1
, 
α
2
, 
α
3
,
α
4
 bo‘lgàn chiziqli kîmbinàtsiyasi kîîrdinàtàlàri 
α
1
, 
α
2
, 
α
3
, 
α
4
bo‘lgàn to‘rt o‘lchîvli (
α
1
, 
α
2
, 
α
3
, 
α
4
) våktîrgà tång ekàn.
Àgàr 
y
∈
L 
 våktîr 
L
 chiziqli fàzîdàgi 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàrning
chiziqli kîmbinàtsiyasi ko‘rinishdà, ya’ni
y
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ 
... 
+ α
k
x
k                                    
(2)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

360
ko‘rinishdà tàsvirlàngàn bo‘lsà, 
y
 våktîr 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàr
bo‘yichà yoyilgàn dåyilàdi.
1-misîldà (
α
1
; 
α
2
; 
α
3
; 
α
4
) 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 
+ α
4
x
4
 ekànligini,
ya’ni to‘rt o‘lchîvli (
α
1
; 
α
2
; 
α
3
; 
α
4
) våktîr 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
x
4
 våktîrlàr
bo‘yichà yoyilgànligini ko‘ràmiz.
L
  chiziqli  fàzîdàgi  hàr  qàndày 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
,  ..., 
x
k
  våktîrlàr
siståmàsi uchun quyidàgi hîllàr ro‘y bårishi mumkin:
1) 
L
 chiziqli fàzîning hàr qàndày våktîrini 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, ..., 
x
k
våktîrlàr  bo‘yichà  yoyish  mumkin;
2) 
L
  chiziqli  fàzîning 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
,  ..., 
x
k
  våktîrlàr  bo‘yichà
yoyilmàydigàn birîr våktîri màvjud.
2 - m i s î l .  
R
5
 fàzîning 
x
1
 
= 
(1; 0; 0; 0; 0), 
x
2
 
= 
(0; 1; 0; 0; 0),
..., 
x
5
 
= 
(0; 0; 0; 0; 1) våktîrlàrini qàràymiz. 
y
 
= 
(
y
1
, 
y
2
, 
y
3
, 
y
4
,
y
5
) våktîr shu fàzîning iõtiyoriy våktîri bo‘lsin. U hîldà
y
 
= 
y
1
x
1
 
+ 
y
2
x
2
 
+ 
y
3
x
3
 
+ 
y
4
x
4
 
+ 
y
5
x
5
tånglikning to‘g‘ri ekànligini båvîsità tåkshirib ko‘rish mumkin.
R
5
 fàzîning hàr qàndày 
y
 våktîrini 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
x
4
, 
x
5
 våktîrlàr
bo‘yichà yoyish mumkin.
3 - m i s î l .
 R
3
 fàzîdàgi 
x
1
 
= 
(1; 2; 0), 
x
2
 
= 
(2; 3; 0) våktîrlàr
siståmàsini qàràymiz. 
y
 
= 
(1; 1; 2)
∈
R
3
 våktîrni 
x
1
, 
x
2
 våktîrlàr
bo‘yichà yoyish mumkin emàsligini àniqlàymiz.
Y e c h i s h .  
y 
våktîrni 
x
1
, 
x
2
 våktîrlàr bo‘yichà yoyish mumkin
và yoyilmàning kîeffitsiyåntlàri 
α
1
, 
α
2
 sînlàrdàn ibîràt dåb fàràz
qilàylik. U hîldà 
y
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 yoki (1; 1; 2) 
= 
( 
α
1
 
+ 
2
α
2
; 2
α
1
 
+
+
3
α
2
;  0)  tånglik  o‘rinli  bo‘làdi.  Îõirgi  tånglikdàn, 
n
  o‘lchîvli
våktîrlàrning tångligi tà’rifigà ko‘rà
1
2
1
2
2
1,
2
3
1,
0 2
α + α =

 α + α =

 =

siståmàni hîsil qilàmiz. Bu siståmà ziddiyatlidir. Dåmàk, fàràzimiz
nîto‘g‘ri, ya’ni 
y
våktîrni 
x
1
, 
x
2
  våktîrlàr  bo‘yichà  yoyish  mumkin
emàs.
Endi chiziqli fàzî nîl-våktîri 
θ
 ni bårilgàn 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàr
bo‘yichà yoyish màsàlàsini qàràymiz.
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 làr 
L
 chiziqli fàzîning iõtiyoriy våktîrlàri bo‘lsin.
θ
 våktîrni shu våktîrlàr bo‘yichà hàmmà vàqt yoyish mumkin:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

361
θ
 
= 
0
x
1
 
+ 
0
x
2
 
+ 
... 
+ 
0
x
k 
.
                             (3)
θ
  våktîrni  bårilgàn 
x
1
, 
x
2
,  ..., 
x
k
  våktîrlàr  bo‘yichà  yoyish
fàqàt  bir  õil  usuldà  (ya’ni  fàqàt  (3)  ko‘rinishdà)  yoki  bittàdàn
îrtiq usuldà bàjàrilishi mumkin.
4 - m i s î l .  
θ
 
= 
(0; 0; 0)
∈
R
3
 våktîrni 
x
1
 
= 
(2; 0; 0), 
x
2
 
= 
(0; 2;
0), 
x
3
 
= 
(0;  0;  2)  våktîrlàr  bo‘yichà  nåchà  õil  usuldà  yoyish
mumkinligini àniqlàymiz.
Y e c h i s h .  
θ
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
  yoyilmàni  qàràymiz.  Bu
yoyilmà o‘rinli bo‘lishi uchun
(0; 0; 0) 
= α
1
(2; 0; 0;) 
+ α
2
(0; 2; 0) 
+ α
3
(0; 0; 2) 
=
= 
(2
α
1
; 0; 0;) 
+ 
(0; 2
α
2
; 0) 
+ 
(0; 0; 2
α
3
)
yoki
(0;  0;  0) 
= 
(2
α
1
;  2
α
2
;  2
α
3
)
tånglik  o‘rinli  bo‘lishi  kåràk. 
n
  o‘lchîvli  våktîrlàr  tångligining
tà’rifigà  ko‘rà,  îõirgi  tånglik 
α
1
 
= 
0, 
α
2
 
= 
0, 
α
3
 
= 
0  tångliklàr
o‘rinli bo‘lgàndà và fàqàt shu hîldà o‘rinlidir. Bu yerdàn ko‘rinàdiki,
θ
  våktîrni 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
  våktîrlàr  bo‘yichà 
θ
 
= 
0
x
1
 
+ 
0
x
2
 
+ 
0
x
3
ko‘rinishdàginà, ya’ni fàqàt bir õil usuldà yoyish mumkin.
5 - m i s î l .  
θ
 
= 
(0;  0)
∈
R 
2
  våktîrni 
x
1
 
= 
(1; 2), 
x
2
 
= 
(2;  4)
våktîrlàr  bo‘yichà  nåchà  õil  usuldà  yoyish  mumkinligini
àniqlàymiz.
Y e c h i s h .  
θ
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 yoyilmàni qàràymiz. Bu yoyilmà
o‘rinli bo‘lishi uchun
(0; 0) 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
= α
1
(1; 2) 
+ α
2
(2; 4) 
= 
(
α
1
; 2
α
2
) 
+ 
(2
α
1
;  4
α
2
)
yoki
(0; 0) 
= 
(
α
1
 
+ 
2
α
2
; 2(
α
1
 
+ 
2
α
2
))
tånglik o‘rinli bo‘lishi kåràk. Îõirgi tånglik 
α
1
 
+ 
2
α
2
 
= 
0 shàrtni
qànîàtlàntiruvchi  hàr  qàndày 
α
1
, 
α
2
  sînlàr  uchun  bàjàrilàdi.
Bundày 
α
1
, 
α
2
 sînlàr esà chåksiz ko‘pdir: 
α
1
 
= 
t
, 
α
2
1
2
= −
t
 (
t
∈
R
).
Bu yerdàn ko‘rinàdiki, 
θ
 våktîrni 
x
1
, 
x
2
 våktîrlàr bo‘yichà chåksiz
ko‘p  usullàr  bilàn  yoyish  mumkin  ekàn.
6 - m i s î l .  
y 
= 
(0; 2; 4)
∈
R
3
 våktîrni 
x
1
 
= 
(5; 0; 0), 
x
2
 
= 
(0; 5;
0), 
 x
3
 
= 
(0; 0; 5) våktîrlàr bo‘yichà yoyamiz.
Y e c h i s h .  
y
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 izlàngàn yoyilmà bo‘lsin. U hîldà
(0; 2; 4)
 
= 
(5
α
1
; 0; 0)
 
+ 
(0; 5
α
2
; 0)
 
+ 
(0; 0; 5
α
3
)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

362
yoki
(5
α
1
;  5
α
2
;  5
α
3
)
 
= 
(0;2;4)
tånglik o‘rinli bo‘làdi. Bu tånglik 
1
2
3
5
0,
5
2,
5
4
α =

 α =

 α =

 yoki 
α
1
 
= 
0, 
α
2
 
= 
0,4, 
α
3
=
= 
0,8 bo‘lgàndàginà bàjàrilàdi. Dåmàk, 
y 
= 
0 
⋅
 
x
1
 
+ 
0,4 
⋅
 
x
2
 
+ 
0,8 
⋅
 
x
3
.
7-misîl. 
L
 chiziqli fàzîning nîl-våktîri 
θ
 ni 
x
1
; 
x
2
; ..., 
x
k
−
1
; 
θ
våktîrlàr  bo‘yichà  nåchà  õil  usuldà  yoyish  mumkinligini
àniqlàymiz.
Y e c h i s h .  
θ
 
= 
0 
⋅
 
x
1
 
+ 
0 
⋅
 
x
2
 
+ 
...
 
+ 
0 
⋅
 
x
k
−
1
 
+ α
 
⋅
 
θ
 yoyilmàni
kuzàtib, bu yoyilmà 
α
 ning hàr qàndày hàqiqiy qiymàti uchun
o‘rinli bo‘lishini ko‘ràmiz. Dåmàk, 
θ
 våktîrni bårilgàn 
x
1
; 
x
2
; ...,
x
k
−
1
; 
θ
 våktîrlàr bo‘yichà chåksiz ko‘p usuldà yoyish mumkin.
L
 chiziqli fàzîning 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàri uchun
α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ 
...
 
+ α
k
x
k
 
= θ
                             (4)
tånglik 
α
1
 
= α
2
 
= 
...
 
= α
k
 
= 
0 bo‘lgàn hîldàginà bàjàrilsà, ya’ni nîl-
våktîr 
θ
 ni 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàr bo‘yichà fàqàt bir õil usuldà
yoyish mumkin bo‘lsà, 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàr siståmàsi 
chiziqli
erkli
 dåyilàdi. Àgàr (4) tånglik kàmidà bittàsi nîlgà tång bo‘lmàgàn
α
1
, 
α
2
,  ..., 
α
k
  sînlàr  uchun  bàjàrilsà,  ya’ni  nîl-våktîr 
θ
  ni
x
1
, 
x
2
,  ..., 
x
k
  våktîrlàr  bo‘yichà  bittàdàn  îrtiq  usuldà  yoyish
mumkin bo‘lsà, 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 våktîrlàr siståmàsi 
chiziqli bîg‘liq
dåyilàdi.
4-misîldàgi 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
 våktîrlàr chiziqli erkli, 5-misîldàgi 
x
1
,
x
2
 våktîrlàr esà chiziqli bîg‘liq våktîrlàr siståmàsidir.
7-misîldàn ko‘rinàdiki, hàr qàndày 
L
 chiziqli fàzîning tàrkibidà
nîl-våktîr  qàtnàshgàn  hàr  qàndày 
x
1
, 
x
2
,  ..., 
x
k
−
1
, 
x
k
  våktîrlàr
siståmàsi chiziqli bîg‘liqdir.
8 - m i s î l .  
x
1
 
= 
(2;  4;  1), 
x
2
 
= 
(1;  3;  6), 
x
3
 
= 
(5;  3;  1)
våktîrlàrning chiziqli erkli ekànligini isbîtlàymiz.
Y e c h i s h .  
θ
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 tånglikni tuzàmiz:
(0; 0; 0)
 
= 
(2
α
1
 
+ α
2
 
+ 
5
α
3
; 4
α
1
 
+ 
3
α
2
 
+ 
3
α
3
; 
α
1
 
+ 
6
α
2
 
+ α
3
).
Îõirgi tånglik quyidàgi tångliklàr o‘rinli bo‘lgàndàginà bàjàrilàdi:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

363
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
5
0,
4
3
3
0,
6
0.
α + α + α =

 α + α + α =

α + α + α =

Bu siståmàni yechib, 
α
1
 = 
0, 
α
2
 = 
0, 
α
3
 = 
0 ekànligini tîpàmiz.
Dåmàk, 
θ
  våktîrni 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
  våktîrlàr  bo‘yichà  fàqàt  bir  õil
usuldà yoyish mumkin. Bu esà 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
 våktîrlàrning  chiziqli
erkli ekànligini ko‘rsàtàdi.
Ò å î r å m à .
 
L
 
chiziqli fàzîning
 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 (
k
 > 
1) 
våktîrlàr
siståmàsi  chiziqli  bîg‘liq  bo‘lsà,  u  hîldà  bu  våktîrlàrning  håch
bo‘lmàgàndà bittàsi qîlgànlàri îrqàli yoyilàdi và, àksinchà, L chiziqli
fàzîning
 
x
1
, 
x
2
,  ..., 
x
k
  (
k
  > 
1) 
våktîrlàridàn  birîrtàsi  qîlgànlàri
îrqàli yoyilsà, bu våktîrlàr chiziqli bîg‘liq siståmà hîsil qilàdi.
I s b î t .  
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 (
k 
> 
1) våktîrlàr siståmàsi chiziqli bîg‘liq
bo‘lsin. U hîldà, 
α
1
x
1
 + α
2
x
2
  +
...
+ α
k
x
k
 = θ
 tånglik o‘rinli và 
α
1
, 
α
2
,
..., 
α
k
 sînlàrdàn kàmidà bittàsi nîldàn fàrqli bo‘làdi. Umumiylikni
sàqlàgàn hîldà, 
α
1
 ≠ 
0 dåb hisîblàymiz.
α
1
 ≠ 
0 bo‘lgàni uchun
2
3
1
2
3
1
1
1
...
k
k
x
x
x
x
α
α
α
α
α
α
=
−
− −
tånglikkà egà bo‘làmiz. Dåmàk, 
x
1
 våktîr qîlgàn våktîrlàr bo‘yichà
yoyilàdi.
Endi 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
k
 (
k
 
> 
1) våktîrlàrning birîrtàsi, màsàlàn, 
x
1
våktîr qîlgànlàri îrqàli yoyilsin:
 
x
1
 
= α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 
+ 
...
 
+ α
k
x
k
.
U hîldà, 
−
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 
+ 
...
 
+ α
k
x
k
 
= θ
 tånglik hîsil bo‘làdi,
ya’ni (4) tånglik 
α
1
 
= −
1
 
≠ 
0 dà o‘rinli bo‘làdi. Dåmàk, 
x
1
, 
x
2
, ...,
x
k
 våktîrlàr chiziqli bîg‘liq bo‘làdi.
9 - m i s î l .  
x
1
 
= 
(1;  2;  3), 
x
2
 
= 
(3;  4;  5), 
x
3
 
= 
(5;  6;  7)
våktîrlàrning chiziqli bîg‘liq ekànligini isbîtlàymiz.
Y e c h i s h .  
θ
 
= α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 yoyilmàni qàràymiz.
α
1
x
1
 
+ α
2
x
2
 
+ α
3
x
3
 
= 
(
α
1
 
+ 
3
α
2
 
+ 
5
α
3
; 2
α
1
 
+ 
4
α
2
 
+ 
6
α
3
; 3
α
1
 
+
+ 
5
α
2
 
+ 
7
α
3
)
bo‘lgàni uchun, qàràlàyotgàn yoyilmà 
α
1
, 
α
2
, 
α
3
 ning
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

364
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
5
0,
2
4
6
0,
3
5
7
0
α + α + α =

 α + α + α =

 α + α + α =

siståmàni  qànîàtlàntiruvchi  qiymàtlàridàginà  o‘rinli  bo‘làdi.
Siståmàning àsîsiy dåtårminànti nîlgà tång:
1 3 5
2 4 6
0
3 5 7
∆ =
=
.
Shuning  uchun  siståmà  chåksiz  ko‘p  yechimgà  egà.  Bu
yerdàn, 
θ
  våktîrni 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
  våktîrlàr  bo‘yichà  chåksiz  ko‘p
usullàr  bilàn  yoyish  mumkinligi,  ya’ni 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
  våktîrlàrning
chiziqli bîg‘liqligi kålib chiqàdi.
1 0 - m i s î l .  
x
1
 
= 
(
−
2; 3), 
x
2
 
= 
(
−
8;12) våktîrlàrning chiziqli
bîg‘liq ekànligini isbîtlàymiz.
Y e c h i s h .  
x
2 
våktîrni 
x
1 
våktîr  îrqàli  yoyish  mumkin:
x
2
 
= 
4
x
1
.  Isbîtlàngàn  tåîråmàgà  ko‘rà, 
x
1
, 
x
2
  våktîrlàr  chiziqli
bîg‘liqdir.