Физика курси I

х 2+ у 2= А 2 
(11.49)
кўринишга келади. Бу эса радиуси А га тенг бўлган айлана 
тенгламасидир. Демак, шарча (умумий ҳолда моддий нукта) бир 
вақтнинг ўзида ўзаротик йўналишлардаги бир хил частотали ва бир 
хил амплитудали иккита тебранишда қатнашса, тебранишнинг 
натижавий траекторияси айланадан иборат бўлади.
Ўзаро тик йўналишлардаги тебранишларни кўшиш бўйича 
юқорида қилинган хулосалар қутбланган ёруғлик нурларининг 
интерференциясини (физиканинг оптика бўлими) ўрганишда кенг 
қўлланилади.
Биз ўзаро тик йўналишлардаги тебранишларни қўшишда энг 
оддий хусусий ҳолларни кўриб ўтдик. Бошқа ҳолларда, масалан, 
қўшилувчи тебранишлар частоталари ўзаро тенг бўлмаса, натижавий 
тебраниш траекторияси частоталарнинг нисбатига ва фазалар 
фарқига боғлиқ равишда анча мураккаб эгри чизикдан иборат 
бўлади.
11.10-§. СЎНУВЧИ ТЕБРАНИШЛАР
Ҳозиргача биз ўзгармас амплитуда билан содир бўладиган, яъни 
фақат квазиқайишқоқ куч таъсирида содир бўладиган тебра- 
нишларни қарадик. Амалда ҳар қандай тизимнинг тебраниши (агар 
у ташқаридан энергия олиб турмаса) сўнувчан бўлади — тебраниш 
амплитудаси вақт ўтиши билан узлуксиз камайиб боради. Бунинг 
сабаби шундаки, жисмнинг тебранма ҳаракатига атроф-муҳит 
томонидан каршилик кўрсатилади ва бинобарин, тизим ўз энергияси- 
ни муҳит қаршилигини енгишга, таянч ва осмалардаги ишқала- 
нишларга узлуксиз равишда сарфлайди. Шу боисдан тебранма 
ҳаракат тенгламасини ифодаловчи Ньютоннинг иккинчи қонунида 
квазиқайишқоқ куч (Ғ = —кх) билан бир қаторда муҳитнинг 
қаршилик кучи ҳам иштирок этиши лозим. Тажрибаларнинг 
кўрсатишича унча катта бўлмаган тезликлар учун муҳитнинг 
қаршилик кучи, шу жумладан ишқаланиш кучи ҳам, тезликка тўғри 
мутаносиб бўлиб, ҳаракат йўналишига нисбатан тескари томонга 
йўналган:
ҒК = г у = — г ^ = — гх, 
(11.50)
14— 4 6 7
2 0 9
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бунда г — муҳитнинг қаршилик коэффициенти. С ў н у в ч и т е б р а -
н и ш н и ифодаловчи Ньютоннинг иккинчи ^онуни куйидаги кўри- 
нишда ёзилади:
й2х
и л
«
т —т-= — кх~ 
й?
йх
И7
еки
тх -\-гх-\-кх = 0.
Охирги тенгламанинг ҳар иккала томонини т га бўламиз:
х-\- —
ҳ + —
кх =  
0 .
т
т
Бу тенгламада
-= ь>2
— = 26 
(11.51)
т 
т
белгилашларни киритсак, у куйидаги кўринишга келади:
х 2Ьх + соо* = 0, 
(11.52)
бу ифодадаги шо тизимнинг муҳитнинг каршилиги бўлмаган ҳолдаги 
хусусий тебраниш частотаси, 6 — с ў н и ш
к о э ф ф и ц и е н т и .
Муҳитнинг каршилигини ўзида акс эттирувчи (11.52) тенгламанинг 
ечими 6<соо бўлган ҳол учун куйидагича:
ҳ = Л о е_л'- 5|П((о/ + а ) , 
(11.53)
бунда Ло — тебранишнинг бошланғич (/ = 0 бўлгандаги) амплитуда- 
си; Лое-6 ' кўпайтма / пайтдаги сўнувчи тебраниш амплитудасини 
ифодалайди; со — сўнувчи тебраниш частотаси, унинг киймати 
куйидаги муносабат билан аникланади:
Бу ифодадан кўринадики, сўнувчи тебраниш частотаси (ш) хусусий 
тебраниш частотаси (соо) дан кичик.
(11.54) тенгликка биноан сўнувчи тебраниш даври:
Т
__2л___
, 
2
*2
Д/ с°0 ®
Сўниш кўрсаткичи (коэффициенти) ортиши билан тебранишлар 
даври ортади (тебранишлар частотаси камаяди).
Сўнувчи тебранишда силжишнинг ((11.53) боғланишнинг) вақт 
ўтиши билан ўзгариши 11.16-расмда тасвирланган. (11.53) формула- 
дан ва 11.16-расмдан кўринишича, сўнувчи тебранишлар амплитуда- 
си вақт ўтиши билан
А=Аое~6‘
(11.55)
қонун (экспоненциал қонун) бўйича камайиб боради.
2 1 0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Сўнувчи тебранишда бир-биридан тебраниш даври Т га фарк 
қилувчи иккита кетма-кет амплитудалар нисбати:
А0е
-
6
/
, 
6 Т
А0е ~ 6' ,+Т)
с ў н и ш д е к р е м е н т и деб аталади, унинг натурал логарифми эса 
с ў н и ш н и н г л о г а р и ф м и к д е к р е м е н т и дейилади ва X билан 
белгиланади:
(11.56)
Бу катталик сўнишнинг ўлчови сифатида кўлланилади. (11.56) тенг- 
ламадан кўринишича, сўниш коэффициенти 6 бир даврга тенг 
вақтдаги сўнишни акс эттиради.
Сўнишнинг ўлчови бўлган X кандай катталик эканини аниқлай- 
лик. Шу максадда (11.55) ифодани
А(> — Л1 
А ~
кўринишда, (11.56) ифодани эса 6 — Х/Т кўринишда ёзсак, бу охирги 
икки тенгламадан:
(11.57)
ифодага эга бўламиз; бунда Ло — бошланғич амплитуда, Л эса 
/ пайтдаги амплитуда. Сўнувчи тебранишда амплитуда е = 2,73 марта 
камайиши учун кетган / = т вақт давомида тизим N марта тебранган 
бўлса:
т
7
211
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бўлади ва (11.57) ифода
кўринишни олади. Шартга кўра, А ъ /А — е бўлганлиги учун еМк— е 
ва бундан N ^— 1 ёки
к = ±  
(П.58)
эканлиги келиб чиқади. Охирги тенгликдан кўринадики, сўниишинг 
логарифмик декременти амплитуда е марта камайиши учун кетган 
вак,т ичида содир бўлувчи тебранишлар сонини аниқловчи катта- 
ликдир.
Тебранишнинг сўнишини бошқача тавсифлаш ҳам мумкин. Бу 
мақсадда кўпинча тебранувчи т и з и м н и н г а с л л и г и (<3) деган 
катталикдан фойдаланилади:
д = | - = лЛ/.
Бу формуладан кўринадики, тебранувчи тизимнинг асллиги 0 сон 
жиҳатдан тебранишлар амплитудаси е марта камайиши учун кетган 
вақт давомидаги тебранишлар сонининг л га кўпайтмасига тенг. 
Бошқача айтганда, 0 нинг катта қийматларига X нинг кичик 
қийматлари тўғри келади.
11.11-$. МАЖБУРИЙ ТЕБРАНИШЛАР. РЕЗОНАНС
Табиий шароитда содир бўладиган хусусий тебранишлар, 
юқорида кўрдикки, сўнувчан бўлади, чунки тебраниш жараёнида 
тизимдаги энергия ишқаланиш кучини ва муҳитнинг қаршилик 
кучини енгишга сарфланиб боради. Сўнмайдиган тебранишларни 
ҳосил килиш учун тизимга ташқаридан даврий равишда энергия 
узатилиб турилиши керак. Даврий ўзгарувчан ташқи куч таъсирида 
тизимда вужудга келадиган тебранишларга мажбурий тебранишлар 
дейилади. Масалан, биз телефонда гаплашганимизда микрофон 
пардаси (мембранаси) тебранаётган (босими ўзгараётган) ҳаво 
таъсирида, ҳаво эса бизнинг томоқ-бурун бўшлиғимиздаги товуш 
пардаларининг тебраниши таъсирида мажбурий тебранма ҳаракат 
қилади. Радио карнайи, мотори ишлаб турган машина ёки дастгоҳ 
корпусларининг тебранишлари (титраши) мажбурий тебранишлар- 
дир. Пружинали тебрангич мисолида ҳам пружинага осилган юкка 
(металл шарчага) тик йўналишда даврий равишда туртки бериб 
турилса, унинг тебраниши мажбурий тебраниш бўлади.
Мажбурий тебранишларнинг эркин тебранишлардан фарқи 
шундаки, мажбурий тебранишларнинг частотаси тизимнинг ўз хусу- 
сиятидан келиб чиқмай, балки ташқи таъсирнинг частотаси билан 
аникланади. Қуйида биз энг оддйй ҳолни — тизимга таъсир этувчи 
ташқи куч гармоник қонун билан ўзгарадиган ҳолни қараб чиқиш 
билан чегараланамиз, яъни ташқи куч ш частота билан
Ғ^ҒоСозш/
212
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тарзда ўзгарсин, бунда Ғ0— ташқи кучнинг амплитуда қиймати.
Даврий равишда ўзгариб турадиган бундай ташқи кучни м а ж б у р
э т у в ч и к у ч дейилади. Тинч турган тизимга ўзгарувчан ташқи куч 
таъсир қилса, у ўзининг мувозанат вазиятидан аста-секин кўзғала 
бошлайди. Мазкур жараёнда ташқаридан берилган энергия қисман 
тизимнинг ҳаракат энергиясини оширишга сарфланса, кисман 
ишқаланиш кучини ҳамда муҳитнинг каршилик кучини енгишга 
сарфланади, шу билан бирга тебранишнинг амплитудаси орта 
боради. Бирор вақтдан кейин тизим томонидан ишқаланиш кучини ва 
муҳитнинг қаршилик кучини енгишга вақт бирлиги ичида сарфлана- 
ётган энергия ташкаридан узатилаётган энергияга тенг бўлиб қолади. 
Шу пайтдан бошлаб тизимнинг тебраниши барқарорлашади, яъни 
у ўзгармас амплитуда билан тебрана бошлайди. Барқарор ҳолатга 
келган тебранишларни қараб чиқайлик.
Мажбурий тебранма ҳаракат килаётган тизимга бир вактнинг 
ўзида квазиқайишқок куч ( ~ к х )  ва муҳитнинг қаршилик кучи
(1х
( — г — ) дан ташкари, ташқи куч (/•' = Ғосо5со/) ҳам таъсир этади.
Бинобарин, мажбурий тебранишлар учун Ньютоннинг иккинчи 
қонунини қуйидагича ёзишимиз мумкин: