|
har qanday son uning yechimi bo‘laveradi.
1
- misol. a+x=a2x—
1 tenglamani
x
ga nisbatan yeching.
Y e c h i s h .
a+\=a2x~x, a+\=x(a2- \ ) \
д+1=х(а-1)-(а+1).
1. Agar
a
* +1 bo'lsa, tenglama
x
= —
yechimga ega.
2. Agar
a=
1 bo'lsa, tenglama Ox = 1 ko'rinishni oladi, bu holda u
yechimga ega emas.
3. Agar
a=—
1 bo'lsa, tenglama —2x=l, x = ~ ko'rinishni oladi, bu
\
I
holda u tenglama yechimga ega.
2
- misol.
3
—ax=x—b
tenglamani
x
ga nisbatan yeching.
3-
misol. ax—b=l+x
tenglamani
x
ga nisbatan yeching.
3-§. Parametrik usulda berilgan kasr-ratsional
tenglamalarni .yechish
Parametrik usuldagi tenglamalarni yechish degan so'z tenglamada
qatnashayotgan parametrlarning yo'l qo'yiladigan barcha qiymatlariga
mos keluvchi ildizlami topish demakdir.
5
1
Misol.
a x _ 4
= TfaZ a
tenglamani yeching.
Bu tenglama ma’noga ega bo'lishi uchun ax-4*0 va
9x~a*0
bo'lishi
kerak. Tenglamaning har ikkala tomonini (
ax-4) (9x-a
) ga ko'paytirilsa
45x—ax=5a—4
tenglama hosil bo'ladi, bundan:
45x -
ax=5a
-
4,
x(45 -
a)=5a
-
4.
(1)
Endi
a
ning qanday qiymatlarida
9x~a=0
ga ax-4=0 tengliklar o'rinli
......................... a
4
bo'lishi topiladi
x =
^
va
x = —
,
a
*
0. Bu qiymatlarni (1) tenglamaga
qo'yilsa,
a
ga nisbatan kvadrat tenglama hosil bo'ladi:
a
4
1) q (45 -
a)=Sa
- 4.
2)
- (45 -
a)=5a
-
4.
у
a
45
a
-
a2
= 45a - 36,
180 - 4a=5a2 -
4a,
a2
= 36,
a
= ± 6.
a2
= 36,
a
= ± 6.
Agar parametr
a=±
6 qiymatni qabul qilsa, berilgan tenglama maxraji
nolga teng bo'lib, u ma’noga ega bo'lmaydi, shu sababli
(45-a)
x=5a—-4.
(1) tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli bo'lganligi uchun,
a*±
6 shartga
164
ko'ra, bu tenglamani quyidagicha yechamiz:
1. a) Agar 45 —
а Ф
0 bo'lsa,
а Ф
45 bo'ladi. Bu holda (1) tenglama
bitta yechimga ega bo'ladi.
b) Agar 4 5 -a = 0 bo'lsa, (1) tenglama 0-x=221 bo'ladi, bu holda
5 a - 4
tenglama yechimga ega emas.
Javobi: x
= ——- ,
a *
45 va
a=±
6
.
2. Agar
a =
45 bo'lsa, tenglama yechimga ega emas.
3. Agar a
= ± 6
bo'lsa, tenglama ma’noga ega bo'lmaydi.
1
1
2(« + 3)
Javobi:
1) agar
n = —
4 bo'lsa, x =
8
; 2) agar
n = —
2 b o 'lsa, x=4;
3) agar
n=—
1 bo'lsa, x= l; 4) agar
n— I
bo'lsa,
x=3.
3- misol. — г + ——г = 1 + т tenglamani yeching.
x
- 1
x - b
b
2b
Javobi:
x = b +
1, x, =
7
—- ,
b *
0,
b *
1
.
0
+
1
Agar
b = -
1 bo'lsa, x=0. Agar
b=
1 bo'lsa,
x=2.
4 -§ . Noma’lum absolut miqdor belgisi ostida qatnashgan
tenglamalarni yechish metodikasi
Absolut miqdor ta’rifiga ko'ra x sonining absolut miqdori quyida
gicha aniqlanadi:
x, agar
x >
0
bo'lsa,
-x , agar
x <
0
bo'lsa,
0
,
agar
x =
0
bo'lsa.
Masalan.
|5| = 5, |—2| = 2;...
Ta’rif.
Agar tenglamadagi noma ’lum soni absolut qiymati belgisi bilan
kelsa, bunday tenglama absolut miqdor belgisi ostidagi tenglama deyiladi.
Masalan,
|3x
—
1|
= 4.
|2x
—
1|
—
|5x
—
1\,
|5x
— 7| =
13.
Bu ko'rinishdagi tenglamalarni quyidagi usullar bilan yechiladi.
1- misol. |5x — 7| = 13.
Y e c h i s h .
I usul.
1) 5x-7=13,
2) 5x—7 = —13,
5x = 13 + 7,
5x = -1 3 + 7,
165
5х= 20,
х = 4,
6
11
X=- 5 ^ 5 -
5 х = —6,
T e k s h i r i s h . 20-7=13, 13=13. Demak, х=4, х=—6/5 sonlari berilgan
tenglamaning ildizlari bo'ladi.
I I usul.
(Grafik usuli):
y = 5 x -7
funksiya grafigi chiziladi, ularning kesishish
X
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
Y
7
2
3
8
13
18
23
12
17
22
27
nuqtasining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi (
21
-chizma).
Buning uchun
y =
|5x—7| funksiyaning grafigi yasaladi. Bu grafikning
x
o'qidan yuqorida yotgan qismini o'zgarishsiz qoldiramiz. Uning uchun
5x—
7>0, shu sababli |5x— 7|=5x— 7 bo'ladi. Bu grafikning absissalar o'qidan
pastga yetgan qismiga shu o‘qqa nisbatan simmetrik akslantiramiz. Bu holda
5x—7<0 bo'ladi, ya’ni |5л— 7|=-(5д— 7). Natijada y=5x—7 funksiya grafigi
y =
13 chiziq bilan ikki nuqtada kesishadi, kesishish nuqtalaming absissalari
x = 4
va x = - l ^ ' nuqtalardan iborat bo'ladi, ana shu nuqtalar |5x—7|=13
tenglamaning yechimi bo'ladi.
I l l usul.
(oraliqlar metodi). Absolut miqdor belgisi ostidagi |5x—7|
ifoda x = - d a nolga aylanadi. Sonlar to'g'ri chizig'ida x = -
nuqtani
(
- Л
( 7
belgilab, bu nuqtadan chapda I
I va o'ngda I
5 5
00
ko'ra |5x—7j ifodani absolut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:
olingan qiymatlarga
166
|5 * - 7 | =
-5
jc
+ 7, birinchi
f
7 Y
—OO —
, 5J
oraliqda,
5x - 7, ikkinchi
oraliqda.
Bularga ko‘ra tenglamani quyidagi ikki ko'rinishda yozish mumkin:
1) -5 * + 7 =13,
2) 5x - 7 =13,
-5 * = 1 3 - 7 ,
5x = 13 + 7,
~ 5x
= 6,
5 x= 20,
6 , 1
x =
~5
5 ’
x = 4 '
2-misol.
\lx -
1| = 21 -
9x.
Y e c h i s h .
1)
7x -
1 =21 -
9x,
2)
7x -
1 = -(21 -
9x),
7 x + 9 x = 2 1 + l,
7лг — 1 = 9лг— 21
1бх = 22,
9x - 7x
= 21 - 1,
22
11
, 3
х = ^ = у , x = l - .
2x
= 2 0 ,
x =
10.
T e k s h i r i s h .
7 11 i . o ,
7 7 - 8 _ 1 6 8 -99
' 8 ‘
8 ’
8
8
^
,
11
Demak,
x
= — soni berilgan tenglama yechimi ekan.
О
3-misoI. |x-l|+ |x+l|=2 tenglamani yeching. Bu tenglamada x ~ l= 0 va
x+l=0, demak, ular
x = l
va
x = - l
yechimlarga ega bo'ladi. Sonlar to‘fc‘ri
chizig'ida x= l va x = - l nuqtalar belgilanadi, bu holda sonlar to‘g‘ri chizig'i
uchta oraliqqa ajraladi. Birinchi oraliq ( - » , —1), ikkinchi oraliq [-1,1],
uchinchi oraliq (1,<*>) dan iboratdir. |jc—1| va |x+l| ifodalaming har birini
hosil qilingan oraliqlarda absolut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:
1)
agar x < -l bo'lsa, |x-l|+|x+l|=2 tenglama - x + l - x ^ l = 2
bo'ladi,
bundan —2x=2 yoki x=—1 yechimga ega bo'lamiz;
2)
agar —1<
x
<1 bo'lsa, |x-l|+ |x+l|=2 tenglama -x + l+ x + l= 2 bo'ladi,
bundan 2x=2 yoki x=l bo'ladi. Demak, x=—1 va дс=1 yechimlarga ega bo'ladi.
4-misol. 2x2—5x—3 |
jc
—2|=0 tenglamani yeching.
1) agar x<2 bo'lsa, 2x2—5x-3|x—2| tenglama 2x2-5x+3x—6=0 yoki
x2-x r -
3=0 ko'rinishni oladi, uni yechdi
x l2
= — ± J — + 3 = — ± - y
167
i-t-ТГз
i -л/Гз
,. ,
..
yam
xl
= — -— va
x2 =
— -— yechimlar hosil qilinadi.
Bunda:
Xj =
1 + Vl3
yechim qaralayotgan sohada yetmaydi, shuning
uchun
x 2 =
1 + VI3
, (—■
=
0
, 2) oraliq uchun yechim bo‘ladi;
2)
agar
x>2
bo'lsa, berilgan tenglamadan 2x2-5x-3x+6=0 hosil bo'ladi
yoki ushbu x2-4 x + 3 = 0 ko'rinishni toladi, uni yechsak, x ,= l va
x2=3
yechimlarga ega bo'linadi. Bundagi x,=l yechim qaralayotgan oraliqda
yotmaydi, shuning uchun (2,°°) oraliq uchun yechim x2=3 bo'ladi. Demak,
713
2x2—
5x-3|jr-2|=0 tenglamaning yechimi
*1
= 1 — — , x2 = 3 bo'ladi.
5-§. Kvadrat tenglama tushunchasini kiritish metodikasi
Kvadrat tenglama tushunchasi VII sinfda o'tiladi. Bu mavzu mate-
rialini o ‘tishdan bir necha kun oldin o'qituvchi qo'shim cha vazifa
sifatida o'quvchilarga kvadrat uchhaddan to ‘la kvadrat ajratish mavzusini
o'rganib kelishlarini vazifa qilib berilishi kerak:
Do'stlaringiz bilan baham: |
