|
ha = - j - > ъ =
2
’ z2 = l.
*
1,2
= ± J z = ± y j - ;
хи =±7Г = ±
1
.
Yechimni formulalardan foydalanib topish mumkin:
v
_
. |5 ^ T _ .
[4
_
\
4
V 4
\ 4
’
_ J_ i 5 - y / 2 5 ^ m
J. [ 5 7 T _ ^ [ 3
*3A
\
4
1 4
Ч
2
'
Maktab matematika kursida o'zaro teskari noma’lum ifodalarni o'z ichiga
olgan tenglamalar ham kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Fikrimizning
dalili sifatida quyidagi tenglamani yechaylik:
173
( x i
2
_ ( x + i
^ X
+ lJ ^
X
3
2 '
Bu ko'rinishdagi tenglamalarni yechish jarayonida o'qituvchi eng awalo
noma’lum o'zgaruvchining yo'l qo'yiladigan qiymatlari sohasini aniqlash
lozimligini o'quvchilarga tushuntirishi kerak. Bu tenglamadagi o'zgaruvchining
yo'l qo'yiladigan qiymatlari sohasi x*— I va x*0. Agar
x
+1
=
Z
desak,
x + lY
1
i
1 3
----- = - bo'lib,
z
o'zgaruvchiga ko'ra berilgan tenglama
Z —
= —
X
J
z
z
yoki 2z2-3^~2=0 ko'rinishni oladi. Bu tenglamadan:
Z\ =
Z 1
~ 2.
c + 1
V 2
1
) Zi = " bo'lganda ( ——- ) = - 4 ,\ bo'ladi, bundan
L
l X + 1 1
L
x
•
tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglama haqiqiy sonlar to'plamida yechimga
ega emas.
2
)
z =
2
bo'lganda
| —— r ) =
2
bo'ladi, bundan yoki
——7
= ± V
2
^x +
1
J
J
x
+1
tenglamalar hosil bo'ladi.
a) ^ ^ y ==' ^ j => (x = >/
2
x + -v/
2
) => ( x - j l x = л/
2
)=>
л/2(1 + л /2 )
[х(
1
-л/
2
) = Щ
л/2+2
Л
1
/
X = -------=
к
1 - л / 2 ^
=>
\
х =
(1 - л /2 )(1 + л /2 )
х = ■
1 - 2
(хх = - 2 - Щ
Ь)
= - л / 2 j = >
(х =
- л / 2 х
-
л /2 )
=> (х +
л /2 х = - V 2 ) :
174
Javobi: Xj = -2 - -Jl, x2 = V2 - 2.
3.
To'rtinchi darajali
са^+Ьх3+сх2+(к+с=0
ko‘rinishdagi tenglamalarni ham
to‘la kvadrat ajratish yo‘li bilan kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi.
Misol.
x*+6x3+9x2-4x2+l2x+3=0
tenglamani yeching.
Y e c h i s h . jc4+6x3+9x2-4x2+12x+3=(x2+3x)2-4 (x 2+3jc)+3=0
x2+3
x=z
desak, tenglama
z2—4z+3—Q
ko'rinishni oladi. Bundan
zt=
1 va
1)
Zi~
1 bo'lganda x2+3x=l yoki xa+3x — 1=0 bo'ladi.
z2= 3.
2
v4
2
2
2
2) ^
2
= 3 bo'lganda x2+3x = 3 yoki x2+3x - 3 = 0 bo'ladi.
Х г 4 = А ± Ш 7 з , Л ± Я
3,4
2
V4
2
2
2
_
..
-3±>/ГЗ
-3±л/21
/owfo: X| 2 = -----------; va x3>4 ------- ------.
4.
Agar в(Г*"+оя_1хя' 1+..-.+д1х+в tenglamada koeffitsiyentlarning
a = a v
an_ = a x, ап = а г,
... tengliklari o'rinli bo'lsa, bunday tenglama qaytma
tenglama deyiladi. Qaytma tenglamalar ham ayniy almashtirishlar bajarish
orqali kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi.
Misol. 2x4+3x3-16xI+3x+2=0 tenglamani yeching.
Y e c h i s h . Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni x**0 ga bo'linadi:
2x2+ 3 x - 1 6 + ^ ± ^ - = 0
yoki
2^ x2 + - L j + 3^x + ^ j - l 6 = 0 .
1
(
1
^
7
?
1
?
Agarx + —
=
z
desak, l * + ~ I
= z
bo'ladi, bunda:
x + -^ j = Z
- 2 . Bu
X
{
X )
x
belgilashlarga asosan berilgan tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:
2(г2-2)+Зг-16=0
yoki 2*4-3*-20=0,
bundan
- 3 ± л/9 + 4■ 2• 20
- 3 ± 1 3
^ _ 5
*
1,2
------------
4
4
- *i
2
’ *2 “
1) Agar
Zi
= | bo‘lsa, x + “ = f
y°ki 2x
2
+5x+2=0, bundan
_ 5 + л/25- 1 6 _ - 5 ± 3
_ 1 .
*
1 ,2
-------------
4
-------------
4
>
x 2
~
2
>
1
/'
2) agar £,=-4 bo'lsa, x + —= -4 yoki x
2
+4x+l=0 bo'ladi, bundan
x,
= - 2 + л/3
va
x 2 = ~ 2 - >/3.
Javobi: x
= 2 ,
x
2
- ^
.
*з
,4
= - 2 ± л/3.
5
.
ax
4
+bxJ+cx
2
+dx+e
=0
(a*
0
, fc*
0
) ko'rinishdagi tenglama ham qaytma
tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi. Beri|§an tenglamani xVO ga bo'linsa,
a ^ x 2
+ —j j+ ft^x +
—
j+
с
= 0
bo'ladi. Agar x + ~fa= t desak,
(
d f
2
2
d2
2
2d
e
d2 , „
x + —--
= /
bo'ladi, bundan x + —
5—7
= t —
7
", agar
7 - 7 7
bo Isa,
^
bx J
Ьгх
b
d
b*
л
^
ч
/У
2
^
2 d
0
■
2
a d
л
x
+ — - =
x
+ -т-r- = r - —
yoki
в/
+bt
+ c
---- — =
0
ko'rinishdagi
flbc
i x
^
b
kvadrat tenglama hosil bo'ladi. Demak,
ax^+bx3+cx2+dx+ e
= 0 tenglamada
e _ _ d ?
d
b2
tenglamaga keltirib yechilar ekan.
Misol. 2x4-21x3+74x2-105x+50=0.
= — tenglik bajarilsa, bu tenglama ham qaytma tenglama kabi kvadrat
e
d 2
Yechish.
a =
2, e=50, */=105, 6=21. Shartga ko'ra — =
7 7
bo'lishi
a
b
kerak edi, shuning uchun -
= {^21
j
У0^' 25=25 tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu tenglikning har ikkala tomonini xVO ga bo'lsak,
176
2х2 - 2 1 х +
7 4 - ^
+ ^ = 0.
2 ( х 2 + Щ
1_ -21| х + —
|+74
= 0.
5
2
25
2
Agar х + — = /
desak,
х
+
—j = t
-1 0 tenglik hosil bo'ladi, u holda
X
x
tenglama 2/2-21/‘+54=0 ko'rinishni oladi.
9
2
Bundan /] = - va /2= 6 yechimlar hosil bo'ladi.
9
5
9
1) Agar
t\ = —
bo'lsa, -*: + —• = - yoki 2x2-9x+10=0 bundan
x = 2
va
x2
=
^ yechimlar topiladi.
5
,
2) agar
t =
6 bo'lsa, x + — = 6 yoki
x2—
6x+5=0, bundan x3= l va x4=5
5
yechimlar topiladi.
Javobi. x = 2 , x2 = —, x3=
1, x4=5.
6.
(x+ a)(x+ b)(x+ c)(x+ d)= m
ko'rinishdagi tenglama ham m a’lum bir
shart va ayniy almashtirishlarni bajarish orqali kvadrat tenglama ko'rinishiga
keltirib yechiladi. Agar bu berilgan tenglamada
a + b = c + d
yoki
a + c - b + d
yoki
a + d= b+ c
tengliklar o'rinli bo'lsa, bu tenglama ham kvadrat tenglama
ko'rinishiga keltirib yechiladi.
Misol. (x+2)(x—3)(x+l)(x+6)==—96.
a = 2, b——2>, c=
1,
d=
6. Shartga ko'ra
a + c —b + d
edi, shuning uchun
2 + 1 = —3+6, bunga ko' ra berilgan tenglama quyidagicha guruhla-
nad i: [( x+2 )( x+ l ) ] [ ( x - 3 ) [ x + 6 ) ] = —9 6 , (x 2+ 3 x + 2 ) ( x 2+ 3 x - 18) =—96,
x2+ 3 x = t desak,
( t + 2 ) - ( t —
18 )=—96 tenglik o'rinli bo'ladi, bundan
tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamaning yechimi /,= 6 va
t2= l 0
bo'ladi.
1) agar
t{
=6 bo'lsa, x2+3x=6 yoki x2+3x—6=0, bundan
- 3 ± л/9 + 24
-3±л/33
*,,2 =
2
2
;
2) agar
t =
10 bo'lsa, x2+3x=10 yoki x2+3x~10=0 bo'ladi.
-3 ± л/9 + 40
- 3 ± 7
*
3,4
= ------- ^
■
- . x3 = - 5 , x4 =2.
12 — S. Alixonov
177
. ..
-з±7зз
Javobi: х12 =
---------- ,
x3= -5 ,
x = 2 .
a — b
7. ( x+a )4+(x+6^4=c ko‘rinishdagi tenglama ham
x = t
---- -—
almashtirish orqali bikvadrat tenglama ko'rinishiga keltirib yechiladi.
\ x + a - t + m
Agar
) x + b = t - m
^esak, bu sistemadagi tenglamalarni o'zaro
a
- b
a — b
hadma-had ayirsak,
a —b=2m, m=
- ^ f
bo‘ladi, u holda
x+a=H
— —
a + b
yoki
x= t
-----—
bo‘ladi. U holda berilgan tenglama quyidagi ko'rinishni
•
a - b
oladi:
t
+
2
Bundan:
‘4
'
a - b *
c.
«V
4
и
.3
о —
b
с
i ( a
—
b)
.
{ a - b )
{ a - b )
r
+ 4 r ------+ 6 r - -------—+ 4 /------- —+ ------- -
2
4
8
16
4
x з
a - b
, 2 { a - b )
л ( a - b )
( a - b )
+ Г - At
+ ---- - + 6r
^
- At ±
±
=
2
4
8
16
2 t U
4 , ' ( ^ U
2 (- ^ L = c.
2
Bu tenglamani bikvadrat tenglamani yechish usuli bo'yicha yecha olamiz.
Masalan, (x+6)4+(x+4)4=82 tenglama berilgan bo‘lsin.
6 + 4
Butenglamada
x = t
---- - — = 7 - 5 almashtirish bajariladi, uholda berilgan
tenglama ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:
(H-l)4+ ( ? - l ) 4=82.
Do'stlaringiz bilan baham: |
