O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

2-§. Sochilish nazariyasining berilganlari
Noldan farqli haqiqiy larda va funksiyalar juftliklari (2.1.1) differensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlar juftliklarini tashkil qiladi. Shuning uchun ushbu
(2.2.1)
yoyilmalar órinli bo'ladi. Endi va koeffitsiyentlarning xossalarini o'rganamiz.
Lemma 2.2.1. Noldan farqli haqiqiy larda quyidagi tengliklar bajariladi:
(2.2.2)

Isbot. Ushbu (2.2.1) tengliklardan (2.2.3) kelib chiqadi. Yuqoridagi (2.2.1) tengliklardan foydalanib, quyidagi Vronskiy determinantlarini hisoblaymiz:


Bu tengliklar (2.2.2) va (2.2.5) munosabatlarning bajarilishini ko'rsatadi. Ushbu

munosabatdan (2.2.4) kelib chiqadi.
Yuqoridagi (2.2.5) tengliklarning birinchisidan funksiyani yuqori yarim tekislikka analitik davom qildirish mumkinligi kelib chiqadi. Bundan tashqari,
funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi. esa haqiqiy larda uzluksiz funksiya bo'ladi. (2.2.5) va (2.1.11) tengliklardan va funksiyalarning aniqlanish sohalarida quyidagi

asimptotikalarning o'rinli bo lishi kelib chiqadi. Bu tengliklarning birinchisi, funksiyaning chegaralanganligini ko'rsatadi. Agar (2.2.5) munosabatlarga (2.1.14) Levin tasvirini qo 'llasak, u holda va funksiyalar uchun ancha aniqroq formulalarni olish mumkin.
Lemma 2.2.2. a va funksiyalar uchun quyidagi

1. 
   ,
   

2. 
   ,
   

tasvirlar o'rinli. Bu yerda haqiqiy funksiyalar bo 'lib, ushbu

shartlarni qanoatlantiradi.
Isbot. Qulaylik uchun (2.2.7) formulalarning birinchisining isbotini keltiramiz. Yuqoridagi (2.2.5) tengliklarning birinchisiga (2.1.14) Levin tasvirlarini qo 'llab, quyidagi
(2.2.8)
munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda .
Quyidagi integrallarni bolaklab integrallash qoidasidan foydalanib, ushbu
(2.2.9)

ko'rinishda yozish mumkin. Bunda

Quyidagi integrallar ko' paytmasini ushbu

ko'rinishda yozib olamiz. Xuddi shuningdek,

Yuqoridagi (2.2.9)-(2.2.11) integrallarning qiymatlarini (2.2.8) tenglikka qo'yib, ushbu

munosabatdan foydalansak, uchun (2.2.7) formulalarning birinchisi hosil bo'ladi. Bu yerda


Birinchi paragrafdagi (2.1.16) va (2.1.17) tengsizliklarga asosan ekanligi kelib chiqadi.