O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Lemma 2.1.3. Har bir tayinlangan va a larda, quyidagi

munosabatlar o'rinli.
Lemma 2.1.4. yuqori yopiq yarim tekislikda, quyidagi

asimptotikalar o'rinli. Bu yerda
(2.1.12)
Lemma 2.1.5. Noldan farqli haqiqiy larda va funksiyalar juftliklari (2.1.1) tenglamaning chiziqli erkli yechimlaridan iborat bo'lib, ulardan tuzilgan Vronskiy determinantlari uchun ushbu

tengliklar o'rinli bo 'ladi. Bu yerda

Teorema 2.1.1. (B.Y.Levin) (2.1.1) tenglamaning Yost yechimlari uchun quyidagi

tasvirlar o'rinli. Bunda funksiya bo 'lib,
(2.1.15)

(2.1.17)
munosabatlarni qanoatlantiradi.
Yuqorida keltirilgan tasdiqlarning barchasi funksiya uchun mazkur kitobning birinchi bobida isbotlangan edi. Bu tasdiqlarning isbotini funksiya holida o'quvchiga havola qilamiz.
Endi, quyidagi Shturm-Liuvill tenglamalari ketma-ketligini qaraylik:

Bu yerda potensiallar ketma-ketligi haqiqiy funksiyalardan iborat bo'lib,

shartni qanoatlantiradi.
Yuqoridagi (2.1.18) tenglamaning Yost yechimlarini mos ravishda va orqali belgilaymiz.
Lemma 2.1.6. Agar tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha a lar uchun

shartlar bajarilsa, u holda

o'rinli.
Agar tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha a lar uchun

shartlar bajarilsa, u holda
(2.1.23)
o'rinli.
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U holda (1.3.18) integral tenglamadan foydalanib, ushbu


tenglikni topamiz. Bunda (1.3.36) bahoni inobatga olsak,

tengsizlik kelib chiqadi. Yuqoridagi (2.1.8) tengsizlikka muvofiq,

bahoni olamiz. Bundan va yuqoridagi tengsizlikdan


hosil bo 'ladi. Birinchi bobdagi lemma 1.3.2 dan foydalanib,


bahoni olamiz. Shuning uchun,
(2.1.25)
tengsizlik bajariladi. Bundan va (2.1.20) shartdan,

kelib chiqadi. Bu esa holida (2.1.21) tenglikni beradi. Lemmadagi (2.1.21) tenglikni holda isbotlash uchun, ushbu

belgilashdan foydalanamiz. Birinchi bobdagi (1.3.28) tenglikdan

tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlikni quyidagi ko'rinishda yozib olamiz:
(2.1.26)
Yuqoridagi (2.1.24)-(2.1.26) munosabatlardan foydalanib,

tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan

kelib chiqadi. Lemmaning ikkinchi bandi ham xuddi shuningdek isbotlanadi.