O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Teorema (L.D. Faddeyev) Har bir tayinlangan uchun va yadrolar mos ravishda quyidagi

chiziqli integral tenglamalarni qanoatlantiradi. Bu yerda

Hozirgi kunda (23) va (24) tenglamalarga teskari masalaning asosiy integral tenglamalari yoki Gelfand-LevitanMarchenko integral tenglamalari deyiladi. Keyinchalik bu masala V.A.Marchenko [104], B.M.Levitan [90] va P.Deift, E.Trubovis [50] hamda V.A.Yurko [212] tomonidan ham batafsil o'rganilgan.
Ushbu kitobning ikkinchi bobida butun o'qda berilgan operator uchun sochilish nazariyasining to' 'ri va teskari masalalarini yechish usullari bayon qilingan.
Bu turdagi sochilish nazariyasining to' ' ri va teskari masalalari quyidagi
,
shartlarni qanoatlantiruvchi potensiallar holida V.S.Buslayev, V.L.Fomin [24] va P.P.Kulishlar [81] tomonidan o'rganilgan.
Kompleks qiymat qabul qiluvchi va , shartni qanoatlantiruvchi potensiallar sinfida sochilish nazariyasining teskari masalasini yechish algoritmi V.A.Blashak [22] tomonidan batafsil o'rganilgan.
Ushbu

ko'rinishdagi qo'zg'algan Xill tenglamasi uchun sochilish nazariyasining Yost yechimlarini mavjudligini ko'rsatishda quyidagi

Xill tenglamasining Koshi funksiyasi muhim rol o'ynaydi. Bu yerda - haqiqiy va davrli funksiya, esa

shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy funksiya. Qaralayotgan holda F.S.Rofe-Beketov [131] va N.E.Firsova [147] tomonidan Koshi funksiyasi uchun

baho olingan. Bunda o’zgarmas sonlar va orqali Xill operatorining spektri belgilangan. Bu baho nomlari yuqorida zikr etilgan mualliflar ishlarida, avvalo, operator uchun sochilish nazariyasining to'g'ri masalasini o'rganishda, so'ngra teskari masalani yechish jarayonidagi N.E. Firsovaning [147] ishida muhim rol o'ynaydi. Bundan tashqari sochilish nazariyasining bu turdagi teskari masalalari R.G. Newton [118], T.Roberts [128], V.D.Ermakova [58] va boshqa olimlar tomonidan ham o' rganilgan. Shu jumladan, operatorning spektral lakunalarida joylashgan xos qiymatlarning sonini aniqlash masalasi V.A.Jeludev [59] va F.Gesteziy, B.Saymonlarning [36] maqolalarida ham bayon qilingan.
Quyidagi

operator uchun sochilish nazariyasining to' 'ri va teskari masalasi R.F.Bikbayev, R.A.Sharipovlarning maqolalarida o'rganilgan. Bu yerda haqiqiy chekli zonali potensial, esa ushbu

shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy funksiya. Ammo, bu maqolalarda ushbu

tenglamaning Koshi funksiyasi uchun (1.26) ko'rinishdagi baho olinmagan. B.M.Levitan va A.B.Hasanovlarning [95] maqolasida Koshi funksiyasi uchun (1.26) turdagi bahoning o'rinli bo'lishi ko'rsatilgan. Bu baho A.B.Hasanovga [183] operator uchun sochilish nazariyasining to' ' ri va teskari masalasini yechish imkonini berdi. Maqolada muallif tomonidan almashtirish operatorining mavjudligi ko'rsatilgan va teskari masalaning asosiy integral tenglamasi keltirib chiqarilgan.
A.B.Nematovning [114] maqolasida har xil cheksizlikda turli zonali potensiallarga yaqin potensialli ushbu

ko'rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining to' 'ri va teskari masalalari o'rganilgan. Bunda quyidagi

shartlarni qanoatlantiradi. va har xil chekli zonali potensiallar bo'lib, ushbu


operatorlarning spektrlari uchun

munosabat bajariladi.
Bundanda umumiyroq, ya'ni

holda, yuqoridagi operator uchun sochilish nazariyasining to'g'ri va teskari masalasi I.Egorova, K.Grunert, G.Teschllar [57] tomonidan yechilgan.
Endi sochilish nazariyasining teskari masalasini ayrim tatbiqlariga to'xtalamiz.
1967-yilda K.Gardner, J.Grin, M.Kruskal, R.Miura [33] zamonaviy matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo'lgan

nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasiga qo'yilgan Koshi masalasining yechimini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muvaffaq bo'ldilar. Bunda ular butun o'qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun L.D.Faddeyev [141] tomonidan 'rganilgan sochilish nazariyasining to' 'ri va teskari masalasini yechish usulidan foydalandilar.
1968-yilda P.Laks [86] bu olimlar tomonidan qo 'llanilgan usulning universal xarakterga ega ekanligini ko'rsatib berdi va nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasining yuqori tartibli analogini topdi. Natijada Shturm-Liuvill operatori uchun qo' yilgan to'g'ri va teskari masalalarni o'rganishga bo'lgan qiziqish yanada ortdi va nochiziqli evolyutsion tenglamalarni yechishda teskari masalalar usuli kashf qilindi.
P.Laks [86] tomonidan qo'llanilgan usulning asosiy g'oyasidan foydalanib, 1971-yilda V.Zaharov va A.Shabat [63] nochiziqli Shredinger

tenglamasiga qo'yilgan Koshi masalasi yechimini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muvaffaq bo'ldilar.
1972-yilda esa M.Vadati [28] tomonidan modifitsirlangan Korteveg-de Friz

tenglamasiga qo'yilgan Koshi masalasining yechimi tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topildi.
Bundan keyin V.E.Zaxarov, L.A.Taxtadjyan, L.D.Faddeyev [67] va M.Ablovis, D.Kaup, A.Nyuell va X.Sigur tomonidan teskari masalalar usuli sin-Gordon

tenglamasining yechimini topish jarayoniga ham tatbiq qilindi.
Bu turdagi nochiziqli tenglamalarni integrallashda Dirak operatori uchun sochilish nazariyasining to' ri va teskari masalalari qo 'llaniladi.
Butun o'qda berilgan Dirak operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi M.G.Gasimov, B.M.Levitan [34], V.E.Zaxarov, A.B.Shabat [63], I.S.Frolov [155], L.P.Nijnik, Fam Loy , L.A.Taxtadjyan, L.D.Faddeyev [135] va boshqalar tomonidan o'rganilgan.
E.Y.Xruslov [202] nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasiga qo'yilgan Koshi masalasining yechimini zinasimon potensiallar sinfida topishga muvaffaq bo'ldi.
Moslangan manbali Korteveg-de Friz tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasi tez kamayuvchi funksiyalar sinfida ilk bor V.K.Melnikov [106], zinasimon funksiyalar sinfida 2001yilda G':O'.O'razboyev [173], kompleks qiymatli tez kamayuvchi funksiyalar sinfida 2007-yilda U.A.Xoitmetov [194], davriy funksiyalar sinfida esa 2010-yilda A.B.Yaxshimuratov [196] tomonidan yechilgan.
J.Leon va A.Latifiylarning [96] maqolasida fizik jarayonni matematik modelini tavsiflovchi masala moslangan manbali nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasini integrallashga keltiriladi.
Mazkur kitobning uchunchi bobida teskari masalalar usuli yordamida nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasi va uning yuqori tartibdagi umumlashmalari uchun qo'yilgan Koshi masalasining yechimini tez kamayuvchi va zinasimon funksiyalar sinfida topish algoritmlari bayon qilingan.
Ushbu monografiyani yozishda B.M.Levitanning "Обратные задачи Штурма-Лиувилля" (1984), V.A.Marchenkoning "Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения" (1977), V.A.Yurkoning "Введение в теорию обратных спектральных задач" (2007) kitoblaridan hamda muallifning yillar davomida Urganch Davlat universiteti "Fizika-matematika" fakulteti talabalariga maxsus kurs hamda tanlov fanlaridan o'qigan ma'ruzalaridan foydalanildi.
Bu kitobning asosiy maqsadi - oliy o'quv yurtlarida matematika, tatbiqiy matematika va informatika, mexanika va fizika bakalavr yo'nalishlari bo'yicha tahsil olayotgan talabalarga Shturm-Liuvill, ya'ni bir o lchamli Shryodinger operatori spektral nazariyasining to' 'ri va teskari masalalariga bo 'gan qiziqishlarini oshirishdan iborat.
Mazkur kitobni yozishda bergan qimmatli maslahatlari uchun O'zRFA akademiklari Sh.A.Alimov va M.S.Salohiddinovlarga, professor J.I.Abdullayev va dots. A.B.Nematovga hamda kitob matnini tahrir qilishda bergan yordamlari uchun «Amaliy matematika» kafedrasida ishlayotgan barcha shogirdlarimga va kitob matnini terishda bergan yordamlari uchun M.M.Ro'zmetov va A.A.Reyimberganovlarga samimiy minnatdorchilik bildiraman. mamnuniyat bilan qabul qilaman.