O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Lemma 1.1.1. Agar (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalada -haqiqiy funksiya (1.1.3) shartni qanoatlantirsa, u holda

1. 
   Ims quyi yarim tekislikdagi kompleks s lar uchun
   

baho o'rinli bo'ladi. Bunda ushbu

tenglik yordamida aniqlanuvchi Ims quyi yarim tekislikda analitik funksiya bo'ladi.
2) Haqiqiy larda

asimptotika o'rinli. Bu yerdagi funksiyaga (1.1.1)-(1.1.3) chegaraviy masalaning sochilish fazasi deyiladi.
Isbot. Avvalo, quyidagi

tengsizliklarni isbotsiz keltiramiz. Bu baholardagi o'zgarmaslar , va larga bog'liq emas.
Yuqoridagi (1.1.3) va (1.1.10) tengsizliklardan ushbu

integralning Ims quyi yarim tekislikdagi larda absolyut va tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Shuning uchun funksiya quyi yarim tekislikda analitik bo'ladi.
Quyidagi

munosabatning bajarilishi ravshan.
Agar bo'lsa, u holda (1.1.5) va (1.1.8) munosabatlardan quyidagi

tenglik hosil bo'ladi.
Endi, faraz qilaylik o'zgaruvchi quyi yarim tekislikda o'zgarsin. (1.1.1) tenglamaning yechimiga mos keluvchi Volterra tipidagi integral tenglamadan foydalanib, ushbu


tenglikni topamiz. (1.1.10) tengsizlikdan

baholar kelib chiqadi. Shuning uchun,



baho o'rinli bo'ladi.
Xuddi shuningdek, haqiqiy noldan farqli larda
yoki

tasvirlarni olamiz. Bu yerda

Ushbu

formuladan va quyidagi

belgilashdan foydalanib


asimptotikani topamiz.
Lemma 1.1.2. Agar lemma 1.1.1 ning shartlari bajarilsa, holda

1. 
   kompleks s larda ushbu
   

tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimlari mavjud bo 'lib, ulardan bittasi kabi eksponensial o'suvchi, ikkinchisi esa kabi kamayuvchi bo 'ladi;
2) ushbu

tenglama ikkita va chiziqli erkli yechimlarga ega bo 'lib, ular uchun quyidagi

asimptotikalar o 'rinli bo 'ladi.
Isbot. 1) Qulaylik uchun Ims deb olishimiz mumkin. Oldingi lemmadagi yechimning asimptotikasiga asosan

tenglamaning faqat bitta yechimi fazoga tegishli bo 'ladi. Shuning uchun, va yechimlardan hech bo 'lmaganda bittasi, masalan yechim fazoga qarashli bo'lmaydi, ya'ni . U holda bo'lib, yetarli katta larda

tengsizlik bajariladi. Quyidagi

funksiya ham tenglamaning yechimi bo'ladi va yetarli katta larda

tengsizlikni qanoatlantiradi. Bundan lemmaning birinchi tasdig'ining isboti kelib chiqadi.
2) Agar funksiya quyidagi

integral tenglamani qanoatlantirsa, u holda ushbu

differensial tenglamaning yechimidan iborat bo'ladi. Yuqoridagi (1.1.13) integral tenglamadan va (1.1.3) shartdan ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonining mavjudligi kelib chiqadi.
Endi (1.1.13) integral tenglamaning intervalda chegaralangan yechimga ega ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun quyidagi

ketma-ketlikni tuzib olamiz. U holda

baho o'rinli bo'ladi va ushbu

qator to'plamda tekis yaqinlashadi va uning yig'indisi chegaralangan bo'lib, (1.1.13) integral tenglamani qanoatlantiradi. Bundan ko'rinadiki, funksiya o'z navbatida tenglamani yechimidan iborat bo'ladi va uchun

asimptotalar o'rinli bo'ladi. Shunday qilib, tenglamaning ushbu

shartlarni qanoatlantiruvchi chegaralangan yechimi mavjud bo lar ekan. ushbu tenglamaning ikkinchi yechimi

ko'rinishda bo'lib, u

shartlarni qanoatlantiradi.
Bu lemmadan kelib chiqadigan quyidagi ikkita sodda natijalarni isbotsiz keltiramiz.