O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

2-§. VAQTGA BOG'LIQ VA EVOLUTSIYA TENGLAMALARI
Diskretlashtirilgan xususiy qiymat muammosini ko'rib chiqing:

(2.1)
potentsiallari bilan va xos qiymat z intervalda .
Bundan tashqari, xos funktsiyaning vaqtga bog'liqligi bo'lsin

differensial tenglamaga rioya qiling

Xususiy qiymati z oʻzgarmas boʻlgan yechimlari quyidagi tenglamalar bajarilganda mavjud boʻladi:


, va shaklga (2.1) qo'yish orqali eng oson erishiladi

va mustahkamlikni majburlash uchun (2.2) dan foydalaning

Tenglamalar (2.3) ning koeffitsientlarini tenglashtirish yo'li bilan olinadi hosil bo'lgan tizimda. Davomiy o'xshashligini osonroq ko'rish uchun biz (2.1) shaklni afzal ko'ramiz.
Differensial-farq tenglamalarini chiqarish uchun zarur bo'lgan sof algebraik protsedura quyidagicha davom etadi. Kengaytirish kabi
(2.5)
(2. 5) ning tuzilishi tenglamalarni sinchiklab tekshirish orqali taklif qilinadi. (2.3), maxsusning vaqtga bog'liqligi soliton yechimlari va chiziqli ma'nosi "tarqalish" munosabati. Taxmin qilingan shakl bilan (2.5), Eqs. (2.3) mos keladigan tenglamalar ketma-ketligini hosil qiling darajalariga, ularning barchasi bo'lishi kerak mustaqil ravishda qanoatlantiriladi. Biz buni eng to'g'ridan-to'g'ri hal qilish uchun topdik eng yuqori va eng pastga mos keladigan tenglamalar birinchi navbatda z ning kuchlari. Ushbu hisob-kitoblarning natijalari hosil shuningdek, zarur evolyutsiya tenglamalari. Bu tasdiqlanishi mumkin
(2.6)
evolyutsiya tenglamalari bilan birga
(2.7)
Qayerda barcha konstantalar olinadi as (va qulaylik uchun biz tanlaymiz ). Maxsus holatlar endi aniq.Ijaraga berish , , va , topamiz
(2.8)
belgisi birinchi tanlash uchun o'z-o'zidan dual tarmoq (1.1), (1.2). Xuddi shunday, agar biz ruxsat bersak , with , topamiz
(2.8)
diskretlashtirilgan "vaqt bo'yicha ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi". Shu bilan bir qatorda, agar , bizda bor
(2.9)
keyin ruxsat berish , buni ko'ramiz ; shuning uchun
(2.10)
va Toda panjara tenglamasi chiqariladi. Boshqa evolyutsiya tenglamalarini kengaytirish orqali chiqarish mumkinligini ham ta'kidlaymiz emas, balki z-da umumiy kengayishda .
Nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, agar keyin evolyutsiya tenglamasi diskretlashtirilgan to'lqin tenglamasiga lineerlashadi.Shuni ta'kidlash kerakki, Toda panjara tenglamalarini diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasidan (Flashka tomonidan taklif qilingan ) algebraik usulda ham chiqarish mumkin. U holda xos qiymat muammosi tomonidan beriladi
(2.11)
bu yerda xos qiymat (olamiz as ). Tegishli vaqtga bog'liqlik (2.2) ga o'xshash tarzda yozilishi mumkin
(2.12)
Vaqtga nisbatan (2.11) ni farqlash va (2.11), (2.12) dan foydalangan holda ikkita tenglama (koeffitsientlar) hosil bo'ladi. , and .
(2.13)
Kengaytirilmoqda as
(2.14)
va koeffitsientlarini talab qiladi mustaqil ravishda hosilni yo'qotish va evolyutsiya tenglamalari. Topamiz
(2.15)
shuningdek evolyutsiya tenglamalari
(2.16)
masalan, agar biz o'rnatsak , bizda bor
(2.17)
ruxsat beradigan bo'lsak, bu Toda panjarasiga (2.10) kamayadi.

Yuqoridagi fikrlar bo'lishi mumkinligini ta'kidlash kerak xos qiymat masalalari (2.1) yoki (2.11) boʻlgan umumiy chiziqli boʻlmagan differentsial-farq tenglamalarini topish uchun kengaytirilgan.