O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Teorema 2.2.3. to'plam chekli, ya'ni yuqori yarim tekislikda funksiya ko'pi bilan chekli sondagi nollarga ega. a funksiyaning barcha nollari oddiy, ya'ni . Bundan tashqari, quyidagi

tengliklar o'rinli. Bu yerda

Isbot. 1) Avvalo, ushbu

ayniyatlarni topamiz. Bu ayniyatlarni integrallab, ushbu

(2.2.21)tengliklarni hosil qilamiz. So'ngra, ushbu

tenglikni o'zgaruvchi bo'yicha differensiallasak,

munosabat kelib chiqadi. Bunda deb, ekanligidan foydalansak,

hosil bo'ladi. Oxirgi tenglikni (2.2.21) munosabatlardan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin:



Bu tenglikni ushbu
(2.2.22)
ko'rinishda yozib olamiz. Bu yerda

Ma'lumki, ko'rinishda bo'lgani uchun, (2.1.8) tengsizliklardan

baholar kelib chiqadi. Yost yechimlari uchun olingan (2.1.14)
Levin tasviridan


tengliklarni keltirib chiqaramiz. Shuning uchun, ushbu

baholar o'rinli bo'ladi. Bundan va (2.2.19) tenglikdan foydalanib, quyidagi Vronskiy determinantlarini hisoblaymiz:
.
Yuqoridagilardan foydalanib, (2.2.23) tenglikda da limitga o tsak,

kelib chiqadi. Bundan va (2.2.22) tenglikdan, ushbu

munosabatni topamiz. Yana (2.2.19) formulani ishlatib

ifodalarni hosil qilamiz. Shuning uchun, ekanligi va (2.2.20) o'rinli bo' lishi kelib chiqadi.
2) Faraz qilaylik, to'plam elementlari soni cheksiz ko' bo'lsin. U holda to'plam chegaralangan va bo'lgani uchun ko'rinishda bo'ladi. Shu bobning birinchi paragrafidagi (2.1.8) va (2.1.9) baholarga asosan, shunday musbat soni topilib, quyidagi
(2.2.23)

tengsizliklar o'rinli bo'ladi. Bu munosabatlardan foydalanib, quyidagi integrallarni baholaymiz:

(2.2.24)

Bu yerda . Har xil xos qiymatlarga mos keluvchi va xos funksiyalarning fazoda ortogonalligidan ushbu

(2.2.25)

tenglik kelib chiqadi. Ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi ni shunday tanlaymizki, natijada shart bajarilsin. U holda tenglikka asosan,

munosabatni olamiz. Yuqori yarim tekislikda Imk a va funksiyalarning uzluksizligidan va tengsizlikdan foydalanib, quyidagi limitlarni hisoblaymiz:

Shuning uchun,

o'rinli. Bundan va (2.2.24) tengsizliklardan, quyidagi

(2.2.26)
baho kelib chiqadi. Bu yerda va yetarli katta natural sonlar.
Bundan tashqari, ushbu

munosabatning bajarilishini ham ko'rsatish mumkin. Yuqoridagi (2.2.25)-(2.2.27) munosabatlar ziddiyat keltirib chiqaradi. Bu esa to'plamning chekliligini bildiradi.
Demak, operatorning xos qiymatlari to'plami, ushbu

ko'rinishda bo'lar ekan.