Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

1-shart. Faraz qilamiz 𝑣̂(𝑥) ≥ 0 haqiqiy qiymatli ℤ³ da aniqlangan juft funksiya bo‘lib, quyidagi
shartni qanoatlantirsin
^∑_𝑥∈ℤ3 𝑣̂(𝑥) < ∞.
1-shartda ikki zarrachali sistema energiyasiga mos 𝐻^̂ operator Hilbert fazosi 𝘗₂((ℤ³)²) da o‘z-o‘zi- ga qo‘shma chegaralangan operator bo‘ladi [17-18].
Energiya operatorining koordinat tasviridan uning impuls tasviriga o‘tish Furye almashtirishi orqali amalga oshiriladi. Ma’lumki, [12-18], 𝐻 = 𝐹𝐻^̂𝐹⁻¹ operator 𝐻(𝑘), 𝑘 ∈ 𝕋³ operatorlarning to‘g‘ri inte- graliga yoyiladi
^{𝐻 =} ∫_𝕋3 ^{⊕ 𝐻(𝑘)𝑑𝑘.}
Qatlam operatorlari 𝐻(𝑘) = 𝐻₀(𝑘) + 𝑉 ni Shryodinger operatorlari deymiz.
𝐻₀(𝑘) va 𝑉 lar Hilbert fazosi 𝐿₂(𝕋³) da quyidagicha aniqlanadi:
(𝐻₀(𝑘)𝑓)(𝑞) = 𝜀_𝑘(𝑞)𝑓(𝑞), 𝑓 ∈ 𝐿₂(𝕋³),

bu yerda
𝜀 (𝑞) = ^{1 𝑘}

1 𝑘

𝜀(𝑘) = ^∑3

(1 − cos𝑘 ).

𝑘 _𝑚1
𝜀( + 𝑞) +
2 𝑚₂
𝜀( − 𝑞),
2
𝑗=1 ^𝑗

Zarrachalarning o‘zaro ta’sir energiyasiga mos integral operator 𝑉 esa quyidagicha aniqlanadi:

𝕋
^{(𝑉𝑓)(𝑞) = (2𝜋)−3/2} ∫ ₃ ^{𝑣(𝑞 − 𝑠)𝑓(𝑠) 𝑑𝑠, 𝑓 ∈ 𝐿2(𝕋3).}
Bu yerda 𝑉 operatorning yadrosi 𝑣, potensial 𝑣̂ funksiyaning Fur’ye tasviri, ya’ni
𝑣(𝑘) = (𝐹𝑣̂)(𝑘) = (2𝜋)^{−3/2 ∑}_𝑠∈ℤ3 𝑣̂(𝑠)𝑒^{𝑖(𝑘,𝑠)}.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
𝑀(𝑘) = max𝜀_𝑘(𝑞), 𝑚(𝑘) = min𝜀_𝑘(𝑞).
𝑞∈𝕋³ 𝑞∈𝕋³

1. 
   lemma. Qo‘zg‘almas operator 𝐻₀(𝑘) barcha 𝑘 ∈ 𝕋³ larda o‘z-o‘ziga qo‘shma, musbat operator bo‘lib, uning spektri [𝑚(𝑘), 𝑀(𝑘)] kesmadan iborat.
   

𝐻₀(𝑘) operatorning spektri [𝑚(𝑘), 𝑀(𝑘)] kesmadan iborat ekanligini Veyl mezonidan foydalanib isbotlash mumkin ([19] qarang). Qo‘shimcha qilib shuni aytish mumkinki, 𝐻₀(𝑘) operator xos qiymat- larga ega emas.
Qo‘zg‘atuvchi 𝑉 operator spektri haqida quyidagi tasdiq o‘rinli.

2. 
   lemma. 1-shart bajarilganda 𝑉 operator musbat bo‘lib, yadroli operatorlar sinfi 𝛴₁ ga qarashli bo‘ladi. Bundan tashqari uning spektri 𝜎(𝑉) uchun quyidagi tenglik o‘rinli
   

𝜎(𝑉) = {0, 𝑣̂(𝑛), 𝑛 ∈ ℤ³}.
Endi biz 𝐻(𝑘) = 𝐻₀(𝑘) + 𝑉 operatorning xos qiymatlari bilan qiziqamiz. 1-shartda 𝑉 musbat ope-
1 1
rator bo‘ladi. (2-lemmaga qarang) va uning musbat kvadrat ildizini 𝑉² orqali belgilaymiz. 𝑉² ham in-
1
tegral operator bo‘ladi. Uning yadrosini 𝑣²(𝑝 − 𝑡) bilan belgilaymiz. Ikki zarrali Shryodinger operatori
𝐻(𝑘)ning uzluksiz spektridan tashqaridagi (aniqrog‘i uzluksiz spektridan o‘ngda yotuvchi, bizning holi- mizda 𝑉 musbat operator bo‘lganligi uchun 𝐻(𝑘) operatorning uzluksiz spektridan chapda yotuvchi xos
1 1
qiymatlari yo‘q) xos qiymatlarini o‘rganish o‘z-o‘ziga qo‘shma, kompakt 𝑉²𝑟₀(𝑘, 𝑧)𝑉² operator uchun 1 soni xos qiymat bo‘lish yoki bo‘lmaslik masalasiga keltiriladi. Bu yerda 𝑟₀(𝑘, 𝑧) = (𝐻₀(𝑘) − 𝑧𝐼)⁻¹ qo‘z- g‘almas 𝐻₀(𝑘) operatorning rezolventasi. Barcha 𝑧 > 𝑀(𝑘)lar uchun 𝑟₀(𝑘, 𝑧) manfiy operator bo‘ladi. Har bir 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋)³ va 𝑧 ≥ 𝑀(𝑘) uchun 𝐺(𝑘, 𝑧) orqali yadrosi
1 1

𝐺(𝑘, 𝑧; 𝑝, 𝑞) = − ¹
(2𝜋)³
∫_𝕋3
𝑣²(𝑝−𝑡)𝑣²(𝑡−𝑞) _{𝑑𝑡 (5)}
𝗌_𝑘(𝑡)−𝑧

bo‘lgan 𝐿₂(𝕋³) Hilbert fazosidagi integral operatorni belgilaymiz. Shuni ta’kidlash kerakki, ixti- yoriy 𝑧 > 𝑀(𝑘) uchun 𝐺(𝑘, 𝑧) Hilbert-Shmidt tipidagi operator bo‘ladi va
1 1

tenglik o‘rinli.

𝐺(𝑘, 𝑧) = −𝑉²𝑟₀(𝑘, 𝑧)𝑉² (6)

3. 
   lemma. Biror 𝑧 ∈ (𝑀(𝑘), ∞) soni 𝐻(𝑘) operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun 𝜆 = 1 soni
   

𝐺(𝑘, 𝑧) operatorning xos qiymati bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan tashqari bu xos qiymat karraliklari ustma-ust tushadi, ya’ni
dim𝐾𝑒𝑟(𝐻(𝑘) − 𝑧𝐼) = dim𝐾𝑒𝑟(𝐺(𝑘, 𝑧) − 𝐼).
Shunday qilib, ikki zarrali Shryodinger operatori 𝐻(𝑘) ning uzluksiz spektridan tashqaridagi xos qiymatlarini o‘rganish o‘z-o‘ziga qo‘shma, kompakt 𝐺(𝑘, 𝑧) operatorning qo‘zg‘almas nuqtalarini topish masalasiga keltirildi.

4. 
   lemma. 1-shart bajarilsin va 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋)³ bo‘lsin. U holda barcha 𝑧 ≥ 𝑀(𝑘) lar uchun (6) for- mula bilan aniqlangan 𝐺(𝑘, 𝑧) integral operator musbat va u yadroli operatorlar sinfi 𝛴₁ ga qarashli bo‘ladi.
   

Biz 𝑛(𝜇, 𝐵) orqali 𝜇 > 0 dan o‘ngda muhim spektrga ega bo‘lmagan, o‘z-o‘ziga qo‘shma 𝐵 opera- torning 𝜇 dan katta xos qiymatlari sonini belgilaymiz. O‘z-o‘ziga qo‘shma 𝐵 operator uchun 𝑛(𝜇, 𝐵), soni quyidagiga teng bo‘ladi:
𝑛(𝜇, 𝐵) = sup dimℵ_𝐵(𝜇).
ℵ_𝐵(𝜇)
Bu yerda ℵ_𝐵(𝜇) ⊂ 𝐻 bilan shunday qism fazo belgilanganki, uning har bir nolmas 𝑓 ∈ ℵ_𝐵(𝜇) ele- menti uchun (𝐵𝑓, 𝑓) > 𝜇(𝑓, 𝑓) tengsizlik o‘rinli.

5. 
   lemma. 1-shart bajarilsin. U holda istalgan 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋)³ uchun 𝐻(𝑘) operatorning 𝑧 ≥ 𝑀(𝑘) sonidan katta xos qiymatlari soni 𝐺(𝑘, 𝑧) operatorning 1 dan katta xos qiymatlari soniga teng ya’ni qu- yidagi tenglik o‘rinli:
   

𝑛(𝑧, 𝐻(𝑘)) = 𝑛(1, 𝐺(𝑘, 𝑧)), (7)
(7) munosabat Birman-Shwinger prinsipi deb ataladi.

Hilbert-Shmidt teoremasiga ko‘ra, 𝐻 = 𝐿₂(𝕋³) Hilbert fazosidagi ixtiyoriy o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt 𝐴 operatorni quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi:
^{(𝐴𝑓)(𝑥) =} ∫_𝕋3 ^{∑𝑘=1 𝜆𝑘𝜑𝑘(𝑥)𝜑𝑘(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦.}
Bu yerda 𝜆_𝑘 sonlar 𝐴 operatorning xos qiymatlari, 𝜑_𝑘(𝑥) esa 𝐴 operatorning 𝜆_𝑘 xos qiymatiga mos xos funksiyasi.

1.