Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

1-lemma. Har bir fiksirlangan k T element va ^{,  0} sonlаri uchun
z C \ m^{ } (k); M ^{ } (k) ^{soni h ,1 (k ) operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun  ,1 (k, z)  0}
1 1 ^{ }

bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik,
z C \ m^{ } (k); M ^{ } (k) soni ^{h ,1 (k )}

1 1 ^

operatorning xos qiymati,
^{f  L}₂ ^{(T d )} esa unga mos xos funksiya bo‘lsin. U holda


^f funksiya ^{h ,1 (k) f}
 zf
xos qiymatga nisbatan tenglamani, ya’ni,

T
 x  k  x f x vx_ d v(t) f (t)dt  zf x

 
tenglikni qanoatlantiradi.

1 1
z  m^{ } (k); M ^{ } (k) ^{bo‘lganligi bois barcha} x T ^{d lar uchun}
 x  k  x z  0

munosabat bajariladi. Endi

T
 x  k  x z f x  vx_ d v(t) f (t)dt.

(2)

(2) tenglamaga quyidagicha belgilash kiritamiz:
^{a } _T d ^{v(t) f (t)dt.}

(3)

U holda (2) tenglikdan ^{f x} uchun quyidagi ifodani topib olamiz:

f x 

 x

vxa
  k  x  z ^.

(4)

^{f x} uchun topilgan (4) ifodani (3) tenglikga qo‘yamiz va
vta ^{a  T} d ^v(t)  t   k  t  z^dt

tenglikni, ya’ni,


v ² t  

a1   _T ^d _{ t    k  t   z}dt   0. (5)



tenglikni hosil qilamiz. Agar (5) tenglikda

a  0


bo‘lsa, u holda (4) tenglikga ko‘ra,

^{f x  0} hosil bo‘ladi. Bu esa ^{f x} ning xos funksiya ekanligiga zid.

Demak, a  0 . Shu sababli (5) tenglikdan

v² t 

^{1  T} d  t   k  t  z^{dt  0,}


ya’ni ^{ ,1 (k, z)  0} ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, biror z C \ m^{ } (k); M ^{ } (k) soni uchun
^{ ,1} (k, z

)  0

bo‘lsin. U holda

0 1 1 ^{ 0}

f x 

 x

vxa

0
  k  x  z

funksiya Haqiqatan ham,
^{h ,1 (k) f  z f} tenglikni qanoatlantirishi va ^{f  L (T d )} ekanligini ko‘rsatamiz.


0 2

h^{ ,1} (k) f x   x  k  x f x vx_ d v(t) f (t)dt 



T

0
vxa
T
v(t)v(t)a

0
  x   k  x  z
^ x   k  x  z
^{ vx} d  t    k  t   z

0
v ² (t)
dt 

 z f x  vxa   ² vxa_ d
   
dt  z
f x 

0 ^T _{ t}
 
k  t

• 
  z₀
  

^ v ² (t) ^

^T 0
^{ vxa1   } d  t    k  t   z
dt ^  z
f x 





0
 vxa^{ ,1} (k, z

)  z₀

0

0
f x  z

f x.



0
Oxirgi tenglikda biz ^{ ,1 (k, z )  0} ekanligidan foydalandik.

Endi
^{f  L}₂ ^{(T d )} ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,

2
2 2

_T d
f t 
dt  _T ^d
dt  
2 _a 2
max
xT ^d
_T ^d dt 

  ² a ² 2 d _max
xT ^d
2
v(x)
 x   k  x  z

 .

Shunday qilib,

f  L₂
0
^{(T d )} ekan. Lemma to‘liq isbotlandi.

1-lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi.

1. 
   
   
   natija. ^{h ,1 (k )} operatorning diskret spektri uchun
   

 h^{ ,1} (k)  z  C \ m^{ } (k); M ^{ } (k): ^{ ,1} (k, z)  0

disc 
tenglik o‘rinlidir.
1 1 

Quyidagi lemma
h^{2 } k  operator xos qiymatlari va
^2 (k,) funksiya nollari orasidagi bog‘-




lanishni ifodalaydi va 1-lemma kabi isbotlanadi.

2. 
   lemma. Har bir fiksirlangan k T element va ^{,  0}
   

sonlаri uchun





2
^{z  C \ m (k); M (k)} soni h^{2 } k  operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun
2
^2 (k, z)  0

bo‘lishi zarur va yetarlidir.


2-lemmadan h^{2 } k  operatorning diskret spektri haqidagi quyidagi 2-natija kelib chiqadi.


2-natija. h^{2 } k  operatorning diskret spektri uchun
 h^2 k  z C \ m (k); M (k): ^2 (k, z)  0

disc 
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2 2 

_H  ,1 _va
H  ,2
kanal operatorlarning spektri ^{h ,1 (k )} va h^2 k  operatorlarning spektri or-

^  ^ 
qali quyidagicha tavsiflanadi.


1-teorema. Quyidagi tengliklar o‘rinlidir:






 H ^{ ,1}   
bunda,
two
H ^{ ,1}  0;3  3 / 2,
 H ^{ ,2}   
two
H ^{ ,2} 0;3  3 / 2

 H ^{ ,1} : 
h^{ ,1} k   k , 
H ^{ ,2} : 
h^{2 } k   k .

two 
kT
disc 
two 
kT
disc 

2-teorema.
 

H
 ,
opertorning muhim spektri quyidagichа

 H ^{ }    H ^{ ,1}   H ^{ , 2 } 

аniqlаnаdi.

ess
 ,  