Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

Ключевые слова: рещетка, чатица, оператор энергии, оператор Шредингера, полный ква- зиимпульс, существенный спектр, собственное значение.
Key words: grating, particle, energy operaror, Shrödinger operator, field quasimomentum, essen- tial spectrum, eigenvalue.

Kvant mexanikasining bir qator masalalari (qarang: [1-11]) quyidagi

𝕋
^{(𝐻𝑓)(𝑞) = 𝑢(𝑞)𝑓(𝑞) + 𝜆} ∫ _𝑑 ^{𝐾(𝑞, 𝑠)𝑓(𝑠)𝑑𝑠 ∈ 𝐿2(𝕋𝑑), (1)} operatorning spektral xossalarini o‘rganishga keltiriladi. Bu yerda 𝑢 uzluksiz funksiya, 𝐾 yadro
𝐿₂((𝕋^𝑑)²) fazoning elementi. Jumladan, ikki zarrachali sistema Hamiltonianlarining xossalarini o‘rga-
nish (1) ko‘rinishdagi H operatorning spektral xossalari bilan uzviy bog‘liq (12-18). (1) ko‘rinishdagi operator, aniqrog‘i,

^{(𝐻 𝑓)(𝑞) = 𝑞𝑓(𝑞) + 𝜆} ∫^{1 𝐾(𝑞, 𝑠)𝑓(𝑠)𝑑𝑠, 𝑓 ∈ 𝐿}
[−1, 1], (2)

𝜆 ₋₁ 2

operator birinchilardan bo‘lib Fridrixs tomonidan uzluksiz spektr qo‘zg‘alishlari nazariyasining sodda modeli sifatida [1] ishda qaralgan. Bunda yadro o‘z o‘zgaruvchilarining uzluksiz funksiyasi bo‘lib, Gyolder hamda quyidagi chegaraviy
𝐾(𝑞, −1) = 𝐾(𝑞, 1) = 𝐾(−1, 𝑠) = 𝐾(1, 𝑠) = 0, ∀ 𝑞, 𝑠 ∈ [−1, 1] (3) shartlarni qanoatlantirishi talab qilingan. Bu shartlarda Fridrixs 𝜆 ning yetarlicha kichik qiymatlari-
da 𝐻₀ va 𝐻_𝜆 operatorlarning unitar ekvivalentligini, ya’ni, 𝐻_𝜆 operator [−1, 1] kesmani to‘ldiruvchi oddiy Lebeg spektriga ega ekanligi isbotlagan. Keyinchalik bu model Fridrixs modeli deb nom olgan.
Fridrixs ishlarining bevosita davomi O.A.Ladijenskaya, L.D.Faddeev [2] va L.D.Faddeev [3] ish- larida o‘z aksini topgan, ya’ni bu ishlarda Fridrixs modelida qo‘yilgan qo‘zg‘alishning kichiklik shartini

olib tashlab va 𝐾(𝑞, 𝑠) yadro 𝜇 > ¹ daraja bilan Gyolder sinfiga qarashlilik shartida 𝐻

operator [−1, 1]

₂ 𝜆
kesmani to‘ldiruvchi uzluksiz spektrga va [−1, 1] kesmadan tashqarida yotuvchi ko‘pi bilan chekli son-
dagi chekli karrali xos qiymatlarga ega bo‘lishi isbotlangan.
Agar 𝑢(𝑞) va 𝐾(𝑞, 𝑠) = 𝐾(𝑠, 𝑞) lar haqiqiy qiymatli analitik funksiyalar bo‘lsa, u holda (1) tipida- gi 𝐻 operatorning xos qiymatlari soni chekliligi S.N.Laqayevning [4] ishida isbotlangan. Jumladan, S.N.Laqayev tomonidan qaralgan bu ishda 𝐻 operatorning uzluksiz spektri 𝑢 funksiyaning qiymatlar to‘plami bilan ustma-ust tushishi hamda qaralayotgan operatorning fizik rezonanslari uzluksiz spektr maxsus nuqtalarining 𝜀 atrofida yotishi ko‘rsatilgan. F.Sharipov va I.A.Ikromovlar [5] ishda 𝑢(𝑞) va
𝐾(𝑞, 𝑠) funksiyalar analitik bo‘lmagan holda ham 𝐻 operatorning xos qiymatlari soni chekliligini ko‘rsa- tishgan.
J.I.Abdullayev va S.N.Laqayevlarning [6] ishida ham [4] ishdagi natijalarga o‘xshash natijalar olin- gan, [7] ishda esa (1) ko‘rinishdagi 𝐻 operatorning uzluksiz spektr ichida yotuvchi ixtiyoriy sondagi xos qiymatlari mavjudligi ko‘rsatilgan va bu xos qiymatlar kichik qo‘zg‘alishlar natijasida fizik rezonanslarga aylanishi hamda bu fizik rezonanslarning kengligining tartibi topilgan. J.Abdullayevning [8] ishida 𝐻 operator xos qiymatining karraligi bilan unga mos Fredholm determinanti nolining karraligi ustma-ust tushishi isbotlangan.
Ikki zarrachali uzluksiz Shryodinger operatori 𝐻(𝜆) = −Δ + 𝜆𝑉 ning diskret spektri ko‘plab mual- liflar tomonidan tadqiq qilingan bo‘lib, potensial 𝑉 ga quyilgan shartlar koordinat fazoda berilgan. Ma- salan, 𝑉 potensial chekli radiusli shardan tashqarida |𝑉(𝑞)| ≤ 𝐶(1 + |𝑞|)^−𝛼 shartni qanoatlantirib, 𝛼 > 1 bo‘lsa 𝐻(𝜆) operator musbat xos qiymatlarga ega emasligi T.Kato tomonidan [9] ishda isbotlangan. 𝐻(𝜆) operator manfiy xos qiymatlari sonining chekliligi haqida juda ko‘p alomatlar keltirilgan, masalan [10-1]. Panjaradagi ikki zarrachali Shryodinger operatorining ba’zi spektral xossalari [12-18] ishlarda tah-
lil qilingan. Bir o‘lchamli panjarada ikki zarrachali Shryodinger operatori 𝐻(𝜋) ning ikki karrali xos qiy- matlari kvaziimpulsning kichik qo‘zg‘alishlarida ikkita oddiy xos qiymatlarga ajrab ketishi [12] ishda is- botlangan. J.Abdullayevning [13] ishida esa ikki o‘lchamli panjarada berilgan ikki zarrachali Shryodinger operatori 𝐻(𝑘) ning kvaziimpuls koordinatalaridan biri 𝑘⁽¹⁾ = 𝜋 yoki 𝑘⁽²⁾ = 𝜋 bo‘lganda cheksiz ko‘p xos qiymatlarga ega bo‘lishligi isbotlangan. Ikki fermionli sistemaga mos Shryodinger operatori xos qiy- matlari soni 𝑁(𝑘), 𝑘 ∈ [−𝜋, 𝜋] ning [0, 𝜋] kesmada kamaymovchi funksiya ekanligi J.I. Abdullayevning
[14] ishida ko‘rsatilgan. Bundan tashqari, 𝑁(𝑘) funksiyaning uzilish nuqtalari topilgan va uning bu uzi- lish nuqtalaridagi sakrashlari hisoblangan.
Uch o‘lchamli panjarada ikki zarrachali Shryodinger operatori 𝐻(𝑘₁, 𝑘₂, 𝜋) ning xos qiymatlar uchun asimptotik formula [15] ishda keltirilgan.
Uch o‘lchamli panjarada ikki zarrachali sistemaga mos Shryodinger operatori 𝐻(𝑘) xos qiymatlari- ning sistema to‘la kvaziimpuls koordinatalari 𝑘^(𝑖) ∈ [0, 𝜋] larga monoton bog‘liqligi [16] ishda isbotlan- gan. [17] ishda sferik potensialli ikki fermionli sistemaga mos Shryodinger operatori 𝐻(𝑘) invariant qism fazolari va bog‘langan holatlari o‘rganilgan. Sferik potensialli ikki bosonli sistemaning bog‘langan holat- lari [18] ishda tahlil qilingan.
Bu ishda uch o‘lchamli panjarada ikki zarrachali sistemaga mos Shryodinger operatori 𝐻(𝑘) ning xos qiymatlari soni uchun quqoridan baholar olinadi.
Uch o‘lchamli panjara ℤ³ da harakatlanayotgan ikki zarrachali sistema energiyasiga mos operator
𝐻^̂, Hilbert fazosi 𝘗₂((ℤ³)²) da

formula ko‘rinishda beriladi. Bu yerda

𝐻^̂ = 𝐻^̂₀ + 𝑉^̂,

_𝐻̂₀
= − ¹
2𝑚₁
Δ ⊗ 𝐼 − ¹
2𝑚₂
𝐼 ⊗ Δ, (4)

𝑚₁ > 0 birinchi zarraning, 𝑚₂ > 0 ikkinchi zarraning massasi, Δ ayirmali Laplas operatori bo‘lib, u zarraning bir tugundan qo‘shni tugunga o‘tishini ifodalaydi

𝑗=1
(Δ𝜓^̂)(𝑥) = ^∑3
[𝜓^̂(𝑥 + 𝑒_𝑗) + 𝜓^̂(𝑥 − 𝑒_𝑗) − 2𝜓^̂(𝑥)], 𝑥 ∈ ℤ³, 𝜓^̂ ∈ 𝘗₂(ℤ³),

𝑒₁ = (1,0,0), 𝑒₂ = (0,1,0), 𝑒₃ = (0,0,1) ∈ ℤ³ birlik vektorlar. 𝑉^̂ operator zarralarning o‘zaro ta’- sirini ifodalaydi, ya’ni
(𝑉^̂𝜓^̂)(𝑥, 𝑦) = 𝑣̂(𝑥 − 𝑦)𝜓^̂(𝑥, 𝑦), 𝜓^̂ ∈ 𝘗₂(ℤ³ × ℤ³).