|
teorema. 𝐴: 𝐻 → 𝐻 o‘z-o‘ziga qo‘shma Hilbert-Shmidt tipidagi operator bo‘lib 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, …
𝑛=1
𝜆
𝑛
uning nolmas xos qiymatlari bo‘lsin. U holda
tengsizlik o‘rinli.
𝑛(1, 𝐴) ≤ (∥ 𝐴 ∥ 2) 2 = ∑∞ 2
Isbot. 𝐴 operator o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lganligi uchun uning xos qiymatlari haqiqiydir. 𝐴 opera- torning musbat va manfiy qismlarini mos ravishda 𝐴+ va 𝐴− orqali belgilaymiz. 𝐴 = 𝐴+ + 𝐴− Hilbert- Shmidt tipidagi operator bo‘lganligi uchun 𝐴+ va 𝐴− operatorlar ham Hilbert-Shmidt tipidagi operatorlar bo‘ladi. Ularning spektri faqat diskret nuqtalardan uborat. Musbat 𝐴+ operatorning xos qiymatlarini ka- mayish tartibida, 𝐴− manfiy operatorning xos qiymatlarini esa o‘sish tartibida nomerlaymiz, ya’ni:
𝜆+ ≥ 𝜆+ ≥ ⋯ 𝜆+ ≥ ⋯ ≥ 0, (8)
1 2 𝑛
𝜆− ≤ 𝜆− ≤ ⋯ 𝜆− ≤ ⋯ ≤ 0.
1 2 𝑛
𝑘
Bu ketma-ketliklarning har biri chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Agar 𝜆+ soni 𝐴+ operator uchun 𝑚 karrali xos qiymat bo‘lsa, u (8) ketma-ketlikda 𝑚 marta qatnashadi. Ma’lumki,
𝜎(𝐴) = 𝜎(𝐴+) 𝖴 𝜎(𝐴−) = {0, 𝜆+, 𝜆−, 𝜆+, 𝜆−, … , 𝜆+, 𝜆−, … }.
1 1 2 2 𝑛 𝑛
Faraz qilaylik, 𝑛(1, 𝐴) = 𝑠 bo‘lsin. U holda quyidagi munosabatlar o‘rinli:
𝜆+ > 1, 𝑗 = 1,2, … , 𝑠 va 𝜆+ ≤ 1, 𝑗 > 𝑠. Bundan esa
𝑗 𝑗
𝑛(1, 𝐴) < 𝜆+ + 𝜆+ + ⋯ 𝜆+ < (𝜆+)2 + (𝜆+)2 + ⋯ (𝜆+)2 ≤ ∑
(𝜆+)2 + ∑
(𝜆−)2 =∥ 𝐴 ∥2.
1 2 𝑠 1 2
𝑠 𝑛=1 𝑛
𝑛=1 𝑛 2
Teorema isbot bo‘ldi.
Barcha 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋)3 larda va 𝑣̂ potensialga qo‘yilgan 1 shartda limitik operator
1 1
lim
𝑧→𝑀(𝑘)
𝑉2𝑟0(𝑘, 𝑧)𝑉2 = lim
𝑧→𝑀(𝑘)
𝐺(𝑘, 𝑧) = 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘))
musbat va u yadroli operatorlar sinfi Σ 1 ga qarashli bo‘ladi va bu operatorning izi
𝑛=1
𝑡𝑟𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)) = ∑∞ 𝜆𝑛 = ∫ 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘), 𝐩, 𝐩)𝑑𝐩
𝕋3
ko‘rinishda belgilanadi.
𝑛=1
teorema. 𝐴: 𝐻 → 𝐻 musbat, o‘z-o‘ziga qo‘shma va 𝐴 ∈ Σ1 bo‘lsin. U holda
tengsizlik o‘rinli.
𝑛(1, 𝐴) ≤∥ 𝐴 ∥ 1= 𝑡𝑟𝐴 = ∑∞
𝜆 𝑛
ya’ni
Isbot. Faraz qilaylik, 𝐴 musbat kompakt operatorning 1 dan katta xos qiymatlari soni 𝑁 ta bo‘lsin,
𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑁 > 1 (9)
𝑛(1, 𝐴) aniqlanishiga ko‘ra,
𝑁 = 𝑛(1, 𝐴).
(9) tengsizlikka ko‘ra,
𝑁 ≤ 𝜆 1 + 𝜆 2 + ⋯ + 𝜆 𝑁. (10)
𝐴 operatorning musbatligidan uning barcha noldan farqli xos qiymatlari musbat ekanligi kelib chi-
qadi, shunday ekan
𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ + 𝜆𝑁 ≤ 𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ + 𝜆𝑁 + ⋯ = 𝑡𝑟𝐴 (11)
bo‘ladi. (10) va (11) tengsizliklardan
kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
𝑛(1, 𝐴) ≤ 𝑡𝑟𝐴
Xulosa. 1-natija. Ixtiyoriy 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋) 3 uchun 𝐻(𝑘) operatorning muhim spektrdan tashqaridagi xos qiymatlari soni chekli va quyidagi tengsizliklar o‘rinli
2
𝑛(𝑀(𝑘), 𝐻(𝑘)) ≤∥ 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)) ∥ 2. (12)
𝑛(𝑀(𝑘), 𝐻(𝑘)) ≤∥ 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)) ∥ 1= 𝑡𝑟𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)). (13)
Isbot. Birman-Shwinger prinsipi (7) tenglikka ko‘ra,
𝑛(𝑀(𝑘), 𝐻(𝑘)) = 𝑁(1, 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)))
o‘rinli. 1-teoremaga ko‘ra,
2
𝑁(1, 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘))) ≤∥ 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)) ∥ 2
o‘rinli, ya’ni (12) ham o‘rinli. 2-teoremaga ko‘ra,
𝑛(𝑀(𝑘), 𝐻(𝑘)) = 𝑁(1, 𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘))) ≤ 𝑡𝑟𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)).
Demak, (13) ham o‘rinli.
2-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
1-natija. Ixtiyoriy 𝑘 ∈ (−𝜋, 𝜋) 3 uchun 𝐻(𝑘) operatorning muhim spektrdan tashqaridagi xos qiy- matlari soni chekli va quyidagi tengsizliklar o‘rinli
𝑛(𝑀(𝑘), 𝐻(𝑘)) ≤ 𝑡𝑟𝐺(𝑘, 𝑀(𝑘)).
Foydalanilgan adabiyotlar:
Fridrixs K.O. Uber die Spectralzerlegung einee Integral operators. Math. Ann. 1938. V.115, p.
249‒272.
Ладыженская О.А., Фаддеев Л.Д., К теории возмущений непрерывного спектра. ДАН СССР, 1962, т.145, № 2, c. 301 ‒ 304.
Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. В книге: Труды математического института АН СССР, т. 73, M., “Наука”,1964, с. 292 ‒ 313.
Лакаев С.Н. Некоторые спектральные свойства обобщенной модели Фридрихса. Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1986, вып. II, с. 210 ‒ 138.
Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной мо- дели Фридрихса. Функциональный анализ и его приложения, 1998, т.32, № 1, с. 63 ‒ 65.
Abdullayev J.I., Lakaev S.N. On the spectral Properties of the Matrix-valued Fridrixs Model. Manyparticles Hamiltonians, spectrum and scattering. Advances in Soviet Mathematics. American Mathematical Society. 1991, V. 5, р. 1 ‒ 37.
Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. O вложенных собственных значениях и резо- нансах обобщенной модели Фридрихса. Теоретическая и математическая физика. 1995, т. 103, №1, с. 54 ‒ 62.
Абдуллаев Ж.И., O кратности собственных значений обобщенной модели Фридрихса. “Узбекский математический журнал”, 1996, №1, 3‒10.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. M., “Мир”, 1972.
Фаддеев Л.Д. О разложении произвольных функций по собственным функциям опера- тора Шредингера. Вестник ЛГУ, № 7, вып. 2 (1957), с. 147 ‒ 166.
Бирман М.Ш. О числе собственных значений в задаче квантового рессеяния. Вестник ЛГУ, № 13, вып.3, 1961, с. 163 ‒ 166.
Абдуллаев Ж.И., Теория возмущения для двухчастичного оператора Шредингера на од- номерной решетке. Теоретическая и математическая физика, т. 145, № 2, 2005.
Абдуллаев Ж.И. Собственные значения двухчастичного оператора Шредингера на дву- мерной решетке. “Узбекский Математический журнал”, № 1, 2005, с. 3 ‒ 11.
Абдуллаев Ж.И. Связанные состояния системы двух фермионов на одномерной решетке. Теоретическая и математическая физика. 2006, т. 147, № 1, с. 36 ‒ 47.
Абдуллаев Ж.И., Мамиров Б.У. Асимптотика собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера. Теоретическая и математическая физика, 2013, т. 176, № 3, с. 417 ‒ 428.
J. I. Abdullaev, A. M. Khalkhuzhaev, L. S. Usmonov. Monotonicity of the eigenvalues of the two-particle Schryodinger operatoron a lattice. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 2021, 12 (6), р. 657 ‒ 663.
J.I.Abdullaev, A.M.Toshturdiyev. Invariant Subspaces of the Shryodinger Operator. with a Finite Support Potential. Lobachevskii. Journal of Mathematics, 2022, SCOPUS, Vol. 43, № 3, p. 1481‒ 1490.
J.I.Abdullayev, Sh.X.Ergashova, Y.S.Shotemirov. Bound states of a system of two bosons with a spherically potential on a lattice. Journal of Physics, SCOPUS. 2070 (2021).
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T.4, Анализ операто- ров, Москва, “Наука”, 1982.
Do'stlaringiz bilan baham: |
