Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

JURNAL2001-YILDANCHIQABOSHLAGAN●JURNAL
OYDABIRMARTA NASHRQILINADI●2022 11(185)

MUASSIS: Urganch davlat universiteti●Jurnal O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Administratsiyasi huzuridagi Axborot va ommaviy kommunikatsiyalar agentligida 2020-yil 11- noyabrda ro‘yxatdan o‘tgan●GUVOHNOMА № 1131.

Umirqulova Gulhayo Husniddin qizi (Buxoro davlat universiteti Matematik analiz kafedrasi o‘qituvchisi)
PANJARADAGI UCH ZARRACHALI SISTEMA GAMILTONIANIGA MOS KANAL OPERATORLAR


Annotatsiya. Mаzkur maqolada d  o‘lchamli panjaradagi uchta zarracha sistema Gаmiltoniani chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator sifatida o‘rganilgаn. Bu Gamiltonianga mos ik- kita kanal operatorlar qurilgan va ularning spektrlari tavsiflangan.
Аннотация. В данной статье Гамильтониан системы трех частиц на d  мерной решет-
ке изучаются как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор. Построены две каналь- ные операторы, соответствующие этому Гамильтониану, и описаны их спектры.
Annotation. In the present pаper, а Hаmiltonian of a system of three particles on a d  dimensio-
nal lattice is considered as a linear, bounded and self-adjoint operator. Two channel operators corres- ponding to this Hamiltonian are constructed and their spectrum are described.
Kalit so‘zlar: panjara, zarrachalar sistemasi, Gamiltonian, kanal operator, yoyiluvchi opertor, spektr.
Ключевые слова: решетка, система частиц, Гамильтониан, оператор канала, разложимый оператор, спектр.
Key words: lattice, system of particles, Hamiltonian, channel operator, decomposable operator, spectrum.
Uch zarrachali diskret Shryodinger operatorlari [1,2,3] va uch zarrachali sistemaga mos model operatorlarining [4,5] muhim spektrlari ko‘plab ishlarda o‘rganilgan. Muhim spektrni o‘rganishda odatda Veyl mezoni, Fredgolmning analitik teoremasi va Faddeyev tenglamasidan foydalaniladi. Ushbu maqo- lada d  o‘lchamli panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos Gаmiltonian qaralgan. Uning Hilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator ekanligi ta’kidlab o‘tilgan. Model ope- rator muhim spektrini tadqiq qilishda foydalanish uchun qulay bo‘lgan ikkita kanal operatorlar kiritilgan. Kanal operatorlar ta’sir qiluvchi fazolarning to‘g‘ri yig‘indiga yoyilishidan foydalanib, kanal operatorlar-
ning ham to‘g‘ri integral yig‘indiga yoyilishi ko‘rsatilgan. Bunda ikkita Fridrixs modellari oilasi hamda ularga mos Fredgolm determinantlari qurilgan. So‘ngra kanal operatorlarning spektri Fridrixs modellari oilasining spektri orqali tavsiflangan.
^{d  N} natural soni uchun T ^d : ( ; ]^d orqali ^d o‘lchamli torni belgilaymiz. Faraz qilay-
lik, T ¹ : ( ; ] bo‘lsin. ^{T 1} to‘plamda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini hаqiqiy sonlаrni
2 modul bo‘yichа qo‘shish va songa ko‘paytirish sifаtidа kiritаmiz, mаsаlаn,

 _{  } 3 2 2
  ^ mod 2 , 2
6  ^
5
 2  ^4
5
^{  4 mod 2 }.
5

Yuqoridаgi kаbi аniqlаngаn T ¹ to‘plamga bir o‘lchаmli tor deyilаdi. d  N natural soni uchun


^{T d orqali d o‘lchamli torni, yа’ni T d  T 1  T 1 ... T 1 ni belgilаymiz.} T ^d 2 ^{da aniqlangan}
d marta
kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) simmetrik funk-

2
siyalarning Hilbert fazosi bo‘lgan ^{LS T d }2 ^ fazoda

_H  
: H ^{ }  (V
 V )  V ,
(1)

 , 0
1 2 3

^{tenglik orqali aniqlanuvchi Gamiltonianni qaraymiz. Bunda} ,  0 ^{ta’sirlashish parametrlari,}

0
H ^{ } qo‘zg‘аlmаs operator E , funksiyaga ko‘paytirish operatori kаbi аniqlаngаn, yа’ni,


(H ^{ } f )(x, y)  E
^{(x, y) f (x, y)} ,

0 
E_ (x, y) :  x  y x  y,  x: 1 cosnx, n  N.

^V_ ,   1, 2,3  operatorlar esa lokal bo‘lmagan potensial operatorlari bo‘lib, quyidagi ko‘rinish- dagi xususiy integralli operatorlardir:
(V₁ f )(x, y)  v( y)_T d v(t) f (x,t)dt, (V₂ f )(x, y)  v(x)_T d v(t) f (t, y)dt,
(V₃ f )(x, y)  _T d f (t, x  y  t)dt.
^V va ^V operatorlar yadrosida ishtirok etuvchi v() funksiya T ^d da aniqlangan haqiqiy qiymatli
1 2

uzluksiz funksiya.
Funksionl analiz elementlaridan foydalanib, (1) tenglik yordamida ta’sir qiluvchi

 

H
 ,

operator

2
^{Ls ((T d )2 )} Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini ko‘rsatish mumkin.

H
 
 ,
operatorning muhim spektrini tadqiq qilish maqsadida kanal operatorlar deb ataluvchi ikkita

operatorni kiritamiz. Bunday operatorlar ^L₂ ^{(T ) } Hilbert fazosida
d 2

H ^{ ,1} : H ^{ }  V ,
_H  ,2 _{: H}   _{ V}

^{ 0 1}  0 3

tengliklar orqali aniqlanadi. Hosil bo‘lgan ^{H  ,1} va H ^{ ,2} operatorlar ham ^{H  }
operator kabi

^  ^{ ,}

2
^{L (T d )2 } Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlardir.

2
^{L (T d )2 } Hilbert fazoning

T

2

2
^{L (T d )2 } _ d ^{ L T d dk}




to‘g‘ri integralga yoyilmasidan ^{H  ,1} va H ^{ ,2} operatorlar uchun
^{H  ,1 } _ ^{d h ,1 (k)   k I dk,} H ^{ ,2}  _ ^d h^2 (k)  k I dk

 ^T 
 ^T 

2
^{to‘g‘ri integralga yoyilmalar kelib chiqadi. Bunda} I ^{orqali L (T d ) Hilbert fazosidagi birlik ope-}

rator belgilangan, ^{h ,1 (k )} va h^2 (k) operatorlar esa ^{L
(T d )} Hilbert fazosida

^  ²

h^{ ,1} (k) : h^{ ,1} (k)  v , k T ^d , h^{2 } k   h^{2 } k   v ,
k T ^d

 0 1  0 2
kabi ta’sir qiluvchi va Fridrixs modellari oilasi deb ataluvchi operatorlar bo‘lib,

0
(h^{ ,1} (k) f )(x)   x k  x f (x), ^{(v f )(x)  v(x)}_ ^{d v(t) f (t)dt,}
1 ^T

0
(h^2 (k) f )(x)   x  k  x f (x), ^{(v f )(x) } _ ^{d f (t)dt.}
2 ^T


Kiritilgan ^{h ,1 (k )}
va h^{2 } k  operatorlar
^{L (T d )} Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va



2
o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini oson ko‘rsatish mumkin.



0
Chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi Veyl teoremasiga

ko‘ra,
_h ,1 _{(k )}
operatorning muhim spektri
h^{ ,1} (k) operatorning muhim spektri bilan, xuddi shu-

ningdek, h^{2 } k  operatorning muhim spektri h^2 k  operatorning muhim spektri bilan ustma-ust tu-


shadi va quyidagi

0


h^{ ,1} (k) m^{ } (k); M ^{ } (k)^{, }
h^2 k  m (k); M
(k)

ess 
1 1 ess  2 2

tengliklar o‘rinlidir, bu yerda
m^{ } (k) : min  x  k  x,
^{M   (k) : max  x  k  x,} ,

¹ kT ^d
m (k) : min  x  k  x,
² kT ^d
1 kT ^d
M (k) : max  x  k  x
² kT ^d

formulalar orqali aniqlanadi.

Har bir fiksirlangan ^{, ,   0}
sonlari va k T element uchun mos ravishda

C \ m^{ } (k);M ^{ } (k) va ^{C \ m
(k); M (k)} sohada analitik bo‘lgan

1 1

 

2 2
^{v2 (t)dt} dt

 ^,1 (k, z) : 1  _ d
    ^,

^{2 } (k, z) : 1  _ d

^{ T}  t
 
k  t  z ^
T  t   k  t  z




yordamchi funksiyalarni kiritamiz. Xususiyаtigа ko‘rа, ^{ ,1 (k,)} va ^2 (k,)

funksiyalarga mos ravishda

_h ,1 _{(k )}
va h^{2 } k 




operatorlarga mos Fredgolm determinantlari deyiladi.