JURNAL 2001-YILDAN CHIQA BOSHLAGAN●JURNAL
OYDA BIR MARTA NASHR QILINADI●2022 11(185)
MUASSIS: Urganch davlat universiteti●Jurnal O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Administratsiyasi huzuridagi Axborot va ommaviy kommunikatsiyalar agentligida 2020-yil 11-
noyabrda ro‘yxatdan o‘tgan●GUVOHNOMА № 1131.
|
Umirqulova Gulhayo Husniddin qizi (Buxoro davlat universiteti Matematik analiz kafedrasi o‘qituvchisi)
PANJARADAGI UCH ZARRACHALI SISTEMA GAMILTONIANIGA MOS KANAL OPERATORLAR
Annotatsiya. Mаzkur maqolada d o‘lchamli panjaradagi uchta zarracha sistema Gаmiltoniani chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator sifatida o‘rganilgаn. Bu Gamiltonianga mos ik- kita kanal operatorlar qurilgan va ularning spektrlari tavsiflangan.
Аннотация. В данной статье Гамильтониан системы трех частиц на d мерной решет-
ке изучаются как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор. Построены две каналь- ные операторы, соответствующие этому Гамильтониану, и описаны их спектры.
Annotation. In the present pаper, а Hаmiltonian of a system of three particles on a d dimensio-
nal lattice is considered as a linear, bounded and self-adjoint operator. Two channel operators corres- ponding to this Hamiltonian are constructed and their spectrum are described.
Kalit so‘zlar: panjara, zarrachalar sistemasi, Gamiltonian, kanal operator, yoyiluvchi opertor, spektr.
Ключевые слова: решетка, система частиц, Гамильтониан, оператор канала, разложимый оператор, спектр.
Key words: lattice, system of particles, Hamiltonian, channel operator, decomposable operator, spectrum.
Uch zarrachali diskret Shryodinger operatorlari [1,2,3] va uch zarrachali sistemaga mos model operatorlarining [4,5] muhim spektrlari ko‘plab ishlarda o‘rganilgan. Muhim spektrni o‘rganishda odatda Veyl mezoni, Fredgolmning analitik teoremasi va Faddeyev tenglamasidan foydalaniladi. Ushbu maqo- lada d o‘lchamli panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos Gаmiltonian qaralgan. Uning Hilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator ekanligi ta’kidlab o‘tilgan. Model ope- rator muhim spektrini tadqiq qilishda foydalanish uchun qulay bo‘lgan ikkita kanal operatorlar kiritilgan. Kanal operatorlar ta’sir qiluvchi fazolarning to‘g‘ri yig‘indiga yoyilishidan foydalanib, kanal operatorlar-
ning ham to‘g‘ri integral yig‘indiga yoyilishi ko‘rsatilgan. Bunda ikkita Fridrixs modellari oilasi hamda ularga mos Fredgolm determinantlari qurilgan. So‘ngra kanal operatorlarning spektri Fridrixs modellari oilasining spektri orqali tavsiflangan.
d N natural soni uchun T d : ( ; ]d orqali d o‘lchamli torni belgilaymiz. Faraz qilay-
lik, T 1 : ( ; ] bo‘lsin. T 1 to‘plamda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini hаqiqiy sonlаrni
2 modul bo‘yichа qo‘shish va songa ko‘paytirish sifаtidа kiritаmiz, mаsаlаn,
3 2 2
mod 2 , 2
6
5
2 4
5
4 mod 2 .
5
Yuqoridаgi kаbi аniqlаngаn T 1 to‘plamga bir o‘lchаmli tor deyilаdi. d N natural soni uchun
T d orqali d o‘lchamli torni, yа’ni T d T 1 T 1 ... T 1 ni belgilаymiz. T d 2 da aniqlangan
d marta
kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) simmetrik funk-
2
siyalarning Hilbert fazosi bo‘lgan LS T d 2 fazoda
H
: H (V
V ) V ,
(1)
, 0
1 2 3
tenglik orqali aniqlanuvchi Gamiltonianni qaraymiz. Bunda , 0 ta’sirlashish parametrlari,
0
H qo‘zg‘аlmаs operator E , funksiyaga ko‘paytirish operatori kаbi аniqlаngаn, yа’ni,
(H f )(x, y) E
(x, y) f (x, y) ,
0
E (x, y) : x y x y, x: 1 cosnx, n N.
V , 1, 2,3 operatorlar esa lokal bo‘lmagan potensial operatorlari bo‘lib, quyidagi ko‘rinish- dagi xususiy integralli operatorlardir:
(V1 f )(x, y) v( y)T d v(t) f (x,t)dt, (V2 f )(x, y) v(x)T d v(t) f (t, y)dt,
(V3 f )(x, y) T d f (t, x y t)dt.
V va V operatorlar yadrosida ishtirok etuvchi v() funksiya T d da aniqlangan haqiqiy qiymatli
1 2
uzluksiz funksiya.
Funksionl analiz elementlaridan foydalanib, (1) tenglik yordamida ta’sir qiluvchi
H
,
operator
2
Ls ((T d )2 ) Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini ko‘rsatish mumkin.
H
,
operatorning muhim spektrini tadqiq qilish maqsadida kanal operatorlar deb ataluvchi ikkita
operatorni kiritamiz. Bunday operatorlar L2 (T ) Hilbert fazosida
d 2
H ,1 : H V ,
H ,2 : H V
0 1 0 3
tengliklar orqali aniqlanadi. Hosil bo‘lgan H ,1 va H ,2 operatorlar ham H
operator kabi
,
2
L (T d )2 Hilbert fazosida ta’sir qiluvchi chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlardir.
2
L (T d )2 Hilbert fazoning
T
2
2
L (T d )2 d L T d dk
to‘g‘ri integralga yoyilmasidan H ,1 va H ,2 operatorlar uchun
H ,1 d h ,1 (k) k I dk, H ,2 d h2 (k) k I dk
T
T
2
to‘g‘ri integralga yoyilmalar kelib chiqadi. Bunda I orqali L (T d ) Hilbert fazosidagi birlik ope-
rator belgilangan, h ,1 (k ) va h2 (k) operatorlar esa L
(T d ) Hilbert fazosida
2
h ,1 (k) : h ,1 (k) v , k T d , h2 k h2 k v ,
k T d
0 1 0 2
kabi ta’sir qiluvchi va Fridrixs modellari oilasi deb ataluvchi operatorlar bo‘lib,
0
(h ,1 (k) f )(x) x k x f (x), (v f )(x) v(x) d v(t) f (t)dt,
1 T
0
(h2 (k) f )(x) x k x f (x), (v f )(x) d f (t)dt.
2 T
Kiritilgan h ,1 (k )
va h2 k operatorlar
L (T d ) Hilbert fazosida chiziqli, chegaralangan va
2
o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini oson ko‘rsatish mumkin.
0
Chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi Veyl teoremasiga
ko‘ra,
h ,1 (k )
operatorning muhim spektri
h ,1 (k) operatorning muhim spektri bilan, xuddi shu-
ningdek, h2 k operatorning muhim spektri h2 k operatorning muhim spektri bilan ustma-ust tu-
shadi va quyidagi
0
h ,1 (k) m (k); M (k),
h2 k m (k); M
(k)
ess
1 1 ess 2 2
tengliklar o‘rinlidir, bu yerda
m (k) : min x k x,
M (k) : max x k x, ,
1 kT d
m (k) : min x k x,
2 kT d
1 kT d
M (k) : max x k x
2 kT d
formulalar orqali aniqlanadi.
Har bir fiksirlangan , , 0
sonlari va k T element uchun mos ravishda
C \ m (k);M (k) va C \ m
(k); M (k) sohada analitik bo‘lgan
,1 ( k, z) : 1 d
,
2 (k, z) : 1 d
T t
k t z
T t k t z
yordamchi funksiyalarni kiritamiz. Xususiyаtigа ko‘rа, ,1 (k,) va 2 ( k,)
funksiyalarga mos ravishda
h ,1 (k )
va h2 k
operatorlarga mos Fredgolm determinantlari deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |