|
Misol. Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlang.
Yechim... Keling, vektor tengligini tuzaylik. Ustun vektorlari sifatida yozib, biz olamiz
Shunday qilib, muammo tizimni hal qilishgacha qisqartirildi
Keling, tizimni Gauss usuli yordamida hal qilaylik:
Natijada, biz tenglamalar tizimini olamiz:
cheksiz echimlar to'plamiga ega, ular orasida bitta nol bo'lmagan bo'lishi kerak, shuning uchun vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar bo'yicha chiziqli operatsiyalar uchun turli xil ifodalarni tuzishga imkon beradi vektor miqdori va ularni ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida o'zgartiring.
Berilgan 1, ..., a n vektorlar to'plamiga asoslanib, siz shakl ifodasini tuzishingiz mumkin
bu erda 1, ... va n - ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi a 1, ..., a n. A i, i = 1, n raqamlari ifodalanadi chiziqli kombinatsiya koeffitsientlari... Vektorlarning to'plami ham deyiladi vektor tizimi.
1, 2,… n vektorlar hamda 1, 2,… n, haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin. Ular hosil qilingan 1 1, 2 2,… n n, ifoda 1, 2,… n vektorlarning 1, 2,… n, koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Agar biror vektor 1, 2,… n vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalangan bo’lsa, vektor shu vektorlar bo’yicha yoyilgan deyiladi, ya’ni quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
= 1 1+ 2 2 + n n (1)
7-ta’rif: Agar kamida bittasi noldan farqli 1, 2 ,… n sonlar tanlab olinganda
1 1+ 2 2+…+ n n = 0 (2)
tenglik bajarilsa, u holda 1, 2,… n vektorlar chiziqli bog’liq deyiladi.
8-ta’rif: Agar (2) munosabat faqat 1= 2=…= n= 0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, u holda 1, 2,… n vektorlar chiziqli bo’lmagan yoki chiziqli erkli deb ataladi.
Tekislikdagi xar qanday ikkita vektorning chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear vektorlar bo’lishi zarur va kifoya. Fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liq bo’lishi uchun, ularning komplanar vektorlar bo’lishi shart.
Tekislikdagi har qanday ikkita vektorning va fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liqsiz vektorlar bo’lishi uchun ularning mos ravishda kollinear va komplanar vektorlar bo’lmasliklari zarur va kifoya.
Chiziqli bog’liq vektorlar uchun quyidagi teoremalar o’rinli bo’ladi.
1-TEOREMA chiziqli bog’liq bo’ladi. . Agar 1, 2,… n vektorlar sistemasining bir vektori nol vektor bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.
ISBOT. k=0 bo’lsin, u holda k 0, 1 = 2 =…= k-1= k+1= n sonlar uchun (2) munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, 1, 2,… n vektorlar
2-TEOREMA. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear bo’lishi zarur va yetarli.
3-TEOREMA. Uch vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar bo’lishi zarur va yetarli.
◄ Zaruriyat. Aytaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liq. Chiziqli qaramlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, tenglikda (2.2) chapda kamida bitta nol bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan, a 1. Birinchi davrni tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, odatdagidek ularning belgilarini o'zgartiramiz. Olingan tenglikni a 1 ga bo'linib, biz olamiz
a 1 = -a 2 / a 1 ⋅ a 2 - ... - a n / a 1 ⋅ a n
o'sha. a 1 vektorning qolgan a 2, ..., a n vektorlarning chiziqli birikmasi ko'rinishida tasviri.
Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha atamalarni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazib, biz a 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1, ..., a n vektorlarning a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n koeffitsientlari bilan chiziqli kombinatsiyasi. nol vektor. Bu chiziqli kombinatsiyada hamma koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 -ta'rifga ko'ra, a 1, ... va n vektorlar chiziqli bog'liqdir.Chiziqli qaramlikning ta'rifi va mezoni shunday tuzilganki, ular ikki yoki undan ortiq vektorlarning mavjudligini nazarda tutadi. Biroq, biz bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirishimiz mumkin. Bunday imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deb ayting. "Bir vektorli tizim chiziqli bog'liq" iborasi bu yagona vektor nolga teng ekanligini anglatishini tushunish oson (chiziqli kombinatsiyada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nol bo'lmasligi kerak).
Chiziqli qaramlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Quyidagi uchta bayonot bu talqinga aniqlik kiritadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
