Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

II.2. Chiziqli differensial tenglamalarning xossalari

Chiziqli differensial tenglama quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. Agar bir jinsli boʻlmagan chiziqli differensial tenglamaning bitta xususiy yechimi berilgan boʻlsa, uning umumiy yechimi bitta kvadratura bilan aniqlanadi
Isbot. (2) tenglamaning yechimi boʻlsin. Ya’ni:
(13)
(14)
(14) dan (14) va (15) ga asosan (2) tenglama

yoki

bundan

bu esa bir jinsli chiziqli differensial tenglama boʻlib, uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi. Bu topilgan z qiymatini (14) ga qoʻysak (2) tenglamaning umumiy yechimiga ega boʻlamiz.


2-xossa. Agar bir jinsli chiziqli (3) tenglamaning yechimi boʻlsa, u holda ham (3) tenglamaning yechimi boʻladi
3-xossa. Agar (2) tenglamaning ikkita bir xususiy yechimlar berilgan boʻlsa, uning umumiy yechimi kvadraturasiz aniqlanadi:
Haqiqatdan ham tenglamaning yechimi boʻlgani uchun


bularni hadlab ayirsak


bundan ko‟rinadikim, bir jinslimas chiziqli differensial tenglamaning 2 ta xususiy yechimlar ayirmasi, bir jinsli tenglamaning yechimi bo‟ladi. U holda 1 va 2 xossaga asosan, (2 ) tenglamaning umumiy yechimi

dan iborat boʻladi.
Misol. Berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping:

Yechish:
bu differensial tenglamani quyidagi ko‟rinishda yozib olamiz

bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama boʻlib, uning umumiy yechimini

formula yordamida topamiz.
=

Demak tenglamaning umumiy yechimi

ga teng ekan