Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

II.3. Koshi masalasi

Bizga ma‟lumki barcha differensial tenglamalar kabi chiziqli differensial tenglama ham cheksiz ko„p yechimga ega. Bu yechimlardan bittasi y=y(x) ni ajratib olish uchun erkli oʻzgaruvchining birorta qiymatiga mos keladigan funksiya qiymatini koʻrsatish kerak, ya’ni x=x₀ da y=y₀ koʻrinishdagi shart berilishi kerak. Bunday shart boshlangʻich shart deyiladi va u qisqacha ushbu koʻrinishda yoziladi
y (x₀)=y_{0 (1)}
Buning geometrik ma’nosi xOy tekislikda koordinatalari (x₀,y₀) boʻlgan nuqtadan o„tuvchi integral chiziqni topishdan iborat.
Berilgan (1) boshlangʻich shartga koʻra chiziqi differensial tenglamani integrallash masalasi chiziqli differensial tenglamaning boshlangʻich masalasi yoki Koshi masalasi deyiladi.
(1)
koʻrinishidagi differensial tenglamalar sistemani normal sistema deyiladi, bu yerda y_i lar x ning nomaolum funksiyalari, f_i lar biror Q_n+1 chegaralangan sohada aniqlangan, uzluksiz funksiyalar.
Ta’rif: Agar biror I intervalda aniqlangan ( ) funksiyalar sistemasi uchun
1. (x, )Q_n+1
2.  _i(x)C¹(I)
3.  _i(x)f_i(x,  ₁(x),  ₂(x), …,  _n(x)) xI
shartlar bajarilsa, bu funksiyalar (1) sistemani I da aniqlangan yechimi deyiladi.
Koshi masalasi: ( ) boʻlib, (1) sistemaning va
(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi (1) sistema uchun K.M. deyiladi.
Teorema: Agar (2) sistema uchun ( ) boshlangʻich qiymatlar berilgan boʻlib
1. (f₁, f₂,…, f_n) funksiyalar quyidagi
P=
yopik sohada uzluksiz (Demak chegaralangan | f_i |M).
2. P sohada f_i funksiya argumentlar boʻyicha Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda (1) sistema ( ) intervalda (2) shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.

Bu holda Lipshits sharti

koʻrinishda boʻladi.
Ushbu teorema ham birinchi tartibli tenglama uchun Pikar teoremasini isbotiga oʻxshash isbotlanadi.