O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

O'zgaruvchan koeffitsientli tenglamalar uchun ayirma sxemalari. Keling, o'zgaruvchan koeffitsientli issiqlik o'tkazuvchanligi (diffuziya) tenglamasining sonli yechimining farq sxemalarini o'rganishga to'xtalamiz.

Bu erda x funktsiyalari berilgan. Agar, masalan, issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti harorat u ga bog'liq bo'lsa, (53) tenglama yarim chiziqli deyiladi. Kvazilinear tenglamalar faqat istisno hollarda analitik yechimlarni qabul qiladi. Hisoblash texnikasining rivojlanishi va chekli ayirma usulini qo‘llash o‘zgaruvchan koeffitsientli chiziqli va kvaziliziqli tenglamalarni yechish imkonini berdi. Bu bir xil dasturlardan foydalangan holda ham uzluksiz, ham uzluksiz koeffitsientli tenglamalarni yechish uchun mos usullarni ishlab chiqish zarurligini ochib berdi.
Uzluksiz koeffitsientlar bilan bog'liq muammolar fizika va texnikada juda keng tarqalgan. Bu, masalan, diffuziya muammolarini ko'rsatish uchun etarli neytronlar va turli jismoniy xususiyatlarga ega bo'lgan ko'p sonli zonalardan tashkil topgan geterogen reaktordagi issiqlik rejimi, fazaviy o'tishlar chegaralarining harakati muammosi (III bobning IV ilovasiga qarang) va boshqalar "orqali" hisob, qaysi to'xtash nuqtalarining joylashuvi haqidagi ma'lumotlardan foydalanmang. Bunday holda, barcha to'r tugunlarida va har qanday koeffitsientlar uchun bir xil formulalar yoziladi (uzluksizliklar yaqinidagi formulalarda hech qanday o'zgarishsiz).
Hisoblash sxemalarining yaqinlashishi va aniqligiga qo'yiladigan talablar ushbu sxemalarning shakllariga cheklovlar qo'yadi. Uzluksiz koeffitsientlar holatida yaqinlashuvchi sxemalarni balans usuli yoki integrointerpolyatsiya usuli yordamida olish mumkin.

2. 
   Turg’unlik. Yaqinlashish va xatolik.
   

Konvergentsiya va aniqlik. Biz shuni aytamiz:
1) (3) - (4) masala yechimi (1) masalaning u = u(x, t) yechimiga yaqinlashadi (sxema (3) - (4) uchun). agar
2) (3)-(4) sxema tezlikda yaqinlashadi yoki aniqlikka ega (futda m tartib va h da n tartib ), agar etarlicha kichik fut uchun bo'lsa

bu erda M = const > 0 h va ga bog'liq emas.
(3)-(4) sxemaning aniqligi xarakteristikasi , bunda yuqorida kiritilgan normalardan biridir. funksiya (5) masala yechimidir. bo'lgani uchun (45) dan z uchun shunday chiqadi

Tengsizlikni hisobga olgan holda (28) olamiz

Demak, teoremaga amal qilinadi.
O'ng tomondagi barqarorlik va (3) sxemaning yaqinlashishi uning bir xil yaqinlashishini anglatadi va uning aniqlik tartibi yaqinlashish tartibiga to'g'ri keladi.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar (3) sxema o'ng tomonda barqaror bo'lsa, ya'ni bo'lsa va sxema (3) yechim bo'yicha maksimal yaqinlashish tartibiga ega bo'lgan shartlar bajarilgan bo'lsa u = u(x, t) (qarang (12), (13)), u holda u aniqlikka ega, bunda uchun m = 2, uchun m = 1:

Bu erda M = const > 0 h va ga bog'liq emas.
2-banddan kelib chiqadiki, agar uchun, bo‘lsa (52) taxmin to‘g‘ri keladi.
Tengsizlikdan (49) aniq sxema uchun agar
Izoh. 4-bo'limdagi teorema izohiga ko'ra, uchun sxema aniqlikka ega. agar (15) formula bilan aniqlansa.

3. 
   O’zgaruvchi koeftsientli tenglamalar uchun ayirmali sxemalar. Balans usuli. Konservativ sxemalar.