O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

Muvozanat usuli. konservativ sxemalar. Kursda biz uchrashgan fizik jarayonlar integral saqlanish tenglamalari (issiqlik miqdori, impuls, energiya va boshqalar) bilan tavsiflanadi. Masalan, vaqt uchun segmentida issiqlikning saqlanish qonuni (muvozanat tenglamasi) shaklga ega.

bu yerda u = (x, t) - harorat, c - uzunlik birligiga to'g'ri keladigan issiqlik sig'imi, f(x, t) - issiqlik manbalarining zichligi, - issiqlik oqimi - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti). Agar uzluksiz hosilalar - va bo'lsa, u holda issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi balans tenglamasidan kelib chiqadi.

Tabiiyki, ma'lum bir jarayonni taxminan tavsiflovchi farq tenglamalarini yozishda muvozanat tenglamasidan harakat qiling. To‘r berilgan bo‘lsin. Ushbu to'rning har bir elementar katakchasi (to'rtburchaklar) uchun hujayra chegarasi bo'ylab funktsiyaning integrallari va uning hosilalari (issiqlik balansi tenglamasi holatidagi oqimlar) o'z ichiga olgan muvozanat tenglamasi yoziladi. Ularni hisoblash funksiya profili haqida taxminlarni talab qiladi. Mahalliy interpolyatsiyani tanlashga qarab ham x, ham (, biz turli sxemalarni olamiz. Interpolatsiyalarni tanlash barqarorlik, aniqlik va amalga oshirish qulayligi talablariga (xususan, arifmetik operatsiyalarning minimal talabiga) bog'liq. yechim olish uchun bajarilishi kerak).
Balans usulini (integro-interpolyatsiya usuli) misollar bilan ko'rsatamiz.
Birinchidan, statsionar issiqlik tenglamasini ko'rib chiqing

bu yerda - issiqlik qabul qiluvchilarning quvvati ( - manbalar uchun), u haroratga mutanosib (xxx ).
bu yerda - issiqlik qabul qiluvchilarning quvvati ( , manbalar uchun), haroratiga proportsionaldir.
oralig'ida biz , panjarasini tanlaymiz qadam bilan h. Issiqlik balansi tenglamasini
oraliqda yozamiz.

bu yerda issiqlik oqimi. Sxemani olish uchun birinchi integral va W ni farqli ifodalar bilan almashtiramiz. Keling, eng oddiy taxminiylikni olaylik

tenglikni oraliqda integrallaylik

W (55) yarim butun nuqtalarda ga kirgani uchun, uchun sozlang

Yoki


E'tibor bering, - segmentning termal qarshiligi . (57') integralni formulalardan biri bilan almashtirish

va boshqalarni olamiz. Bu koeffitsientlar bir-biridan ga farq qiladi. (56) va (57) ifodalarni (55) ga almashtirib, kerakli funktsiyani y belgilab, to'rdagi issiqlikning saqlanish qonunini ifodalovchi ayirma sxemasini olamiz (konservativ sxema):

Bunda

shaklda yozilishi mumkin

Shunday qilib, muvozanat usuli barcha tarmoq tugunlaridagi koeffitsientlari tarmoq tuguniga yaqin joylashgan differensial tenglama koeffitsientlarining o'rtacha qiymatlari bilan bir xil formulalar bo'yicha hisoblangan sxemalarni olish imkonini beradi.
Sxemalarning (58) o'zlari barcha to'r tugunlarida va har qanday uchun bir xil tarzda yoziladi. Bunday sxemalar bir hil deb ataladi. Amaliy maqsadlar uchun a, d, ip sxema koeffitsientlarini oddiyroq formulalar yordamida, alohida nuqtalarda qiymatlaridan foydalangan holda topish tavsiya etiladi. Bunday holda, bir yoki bir nechta nuqtalarda ning o'rtacha qiymatlari sifatida aniqlanadi, ya'ni.

va xuddi shunday uchun. {sjh} nuqtalar to'plami naqsh koeffitsienti deb ataladi.
Odatda bitta yoki ikkita nuqta naqsh ishlatiladi, masalan,

uzluksiz bo'lsa. Agar uzluksiz bo'lsa, bu formulalarda chap va o'ngdagi chegara qiymatlarining yarmini olish kerak.
Sxema (58) agar taxminan 2-tartibga ega
(62)

Haqiqatan ham, (54) tenglamaning u = u(x) yechimidagi (58) sxema uchun yaqinlashish xatosi teng.

Bu yerda almashtirish

va ekanligini hisobga olsak, olamiz

Bu (62) shartlar bajarilsa, ekanligini ko'rsatadi. Yuqorida yozilgan koeffitsientlari ushbu shartlarga mos kelishini tekshirish oson.
Shunday qilib, muvozanat usuli yaqinlashuvning 2-tartibining bir hil sxemalariga olib keladi. Ushbu sxemalar bo'lak-bo'lak uzluksiz koeffitsientlar sinfida birlashadi va hech bo'lmaganda birinchi darajali aniqlikka ega (sxema (58) koeffitsientlar (57'), (59) ikkinchi tartib).
(54) tenglama uchun ayirma sxemalari 2-chi darajali yaqinlashish talabi asosida yozilishi mumkin. Biroq, ba'zida tartib sxemasi uzluksiz koeffitsientlar sinfida ajralib turishi ma'lum bo'ladi. Misol sifatida diagramma bo'lishi mumkin

tenglamasiga mos keladigan), (63) tenglamaning yechimi funktsiyaga ga intiluvchanligini ko'rsatib, bu asl muammoning yechimi emas amaliyot), keyin uning yaqinlashuvi haqida noto'g'ri xulosaga kelish mumkin (u "birlashadi", lekin asl muammoni hal qilish uchun emas).

86-rasm