|
Dirixle masalasini yechishning chekli ayirma usuli
1. Laplas operatorining ayirma yaqinlashuvi. Tekislikda yopiq egri chiziq bilan chegaralangan G sohasi berilsin.
(1) masalani chekli ayirma usulida yechish uchun G+Г sohasiga to‘r kiritish va bu to‘r bo‘yicha tenglama va chegaraviy shartni taqribiylashtirish kerak.
Laplas operatorining yaqinlashuvidan boshlaylik. Ikkinchi hosilalarni ayirma ifodalari bilan almashtiramiz:
Bunda - qadam qo'ying .
Laplas operatori va farq operatori bilan almashtiriladi
nuqtalardan tashkil topgan besh nuqtali trafaretda ("xoch") aniqlanadi. ^2), (* i,*2 + ^2) - rasmda ko'rsatilgan. 88, a. operatori uchun taxminiy xatoni hisoblaylik. Chunki (1-band, 2-bandga qarang)
Keyin
va shuning uchun
Bu erda v - ga nisbatan kamida to'rtta hosilaga ega bo'lgan har qanday funktsiya
88-rasm
va . Shunday qilib, operatori Laplas operatoriga 2-tartib bilan yaqinlashadi.
Operator ekanligini tekshirish oson
(3)
to'qqiz nuqtali shablonda ("ramka") aniqlangan (88-rasm, b), yechimda tenglamalari 4-chi yaqinlashuv tartibi
va 6-tartib uchun
kvadrat panjarada, m ya'ni, uchun.
uchun ifodani batafsilroq h1 = h2 = h holatida yozamiz (kvadrat to'rda):
tenglamani y0 ga nisbatan yechib, hosil qilamiz
Naqsh markazidagi y qiymati naqshning boshqa tugunlaridagi qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidir. Bu formula garmonik funksiya uchun o'rtacha qiymat formulasining farq analogidir.
(4)
Puasson tenglamasi sxema bilan almashtiriladi
Endi sohasidagi Dirixle masalasining (1) ayirma analogini qurishga o'tamiz. parallel to'g'ri chiziqning ikkita turkumini o'tkazamiz (biz ko'rib chiqamizki, koordinatalar koordinatalarini ko'rib chiqamiz. (0,0) G) ichida yotadi. Nuqtalar ( ) tugunlar deb ataladi. x=( ) va x’=( ) tugunlari yoki o'qiga parallel to'g'ri chiziqda yotsa, qo'shni deyiladi. bir-biridan bir-biridan qadamli masofaga ( yoki ) ajratiladi, shuning uchun . Tugun x=( ) muntazam deyiladi, agar uning qo'shni tugunlari , hosil qiluvchi tugunlar besh nuqtali "kesib o'tish" naqshlari G maydoni ichida yoki uning chegarasida joylashgan. Agar ushbu to'rtta qo'shni tugunning kamida bittasi ga tegishli bo'lmasa, u holda tuguniga tartibsiz deyiladi. Barcha muntazam tugunlar to'plamini, barcha tartibsiz tugunlar to'plamini belgilang. chiziqlarning chegarasi bilan kesishish nuqtalari chegara tugunlari deb ataladi. Barcha chegara tugunlari to'plami to'rning chegarasi deb ataladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, mintaqasi dagi to'rga, ya'ni nuqtalar to'plamiga mos keladi, bu erda (89-rasm).
Biz to'rning ulanish xususiyatiga ega ekanligini taxmin qilamiz, ya'ni har qanday ikkita ichki tugun butunlay G ichida joylashgan va yoki ga parallel bo'lgan tarmoq tugunlarini bog'laydigan zvenolardan iborat siniq chiziq bilan ulanishi mumkin.
Oddiy tugunlarda biz va qadamlari bilan besh nuqtali "kesishma" shablonidan foydalanib, farq tenglamasini (4) yozamiz.
Chegara tugunlarida biz kerakli funktsiyaning qiymatini o'rnatamiz
Har xil shartlarni tartibsiz tugunlarda yozish mumkin.
1. Nolinchi tartibli interpolyatsiya. qiymati chegarasining eng yaqin tugunida ga teng deb qabul qilinadi:
2. 1-tartibli interpolyatsiya. qiymati chiziqli interpolyatsiya bilan aniqlanadi. Misol uchun, rasmda ko'rsatilgan holat uchun. 90, 0-tugundagi ning qiymati formula bilan aniqlanadi
shaklda yozilishi mumkin
Bu erda operatorining bir xil bo'lmagan to'rdagi yaqinlashuvi (§1-band, 2-bandga qarang).
3. 2-tartibli interpolyatsiya. tugunida tartibsiz naqshga besh nuqtali diagramma yoziladi (notekis to'rda)
Noo’rin naqsh rasmda ko'rsatilgan. 91, a va 88, c. 3-tugun chegara, 1, 2, 4 - ichki. - 3 va 0 tugunlari orasidagi masofa bo'lsin. Keyin
Ikkinchi holat rasmda ko'rsatilgan. 91b va 88d. 2 va 3 tugunlar chegarada, - 2 va 0 tugunlari orasidagi masofa. Ushbu holatda
Bu erda . Biz -da shartlarni belgilashning 3-yo'lini ko'rib chiqamiz Quyida ko'rsatilgandek, bu eng aniq.
Endi (1) masalaga mos keladigan farq chegaraviy masala formulasini tuzamiz:
Ikkita savol tug'iladi: 1) masalaning echilishi, ya'ni (9)-(11) algebraik tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligi haqida; 2) sxemaning yaqinlashuvi va to'g'riligi haqida (9) - (11) - Bu savollarga biz quyida maksimal printsip yordamida javob olamiz.
(9) - (11) tenglamalardan (1) masala yechimini aniqlashda xatolikni baholash uchun y(x) - - u(x) = z(x) farqini baholashimiz kerak, bunda y( x) (9)-(11) masala yechimi, u(x) to’rning tugunlarida olingan (1) masala yechimi. ni (9)-(11) ga almashtirish, olamiz
Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, agar bo‘lsa , (8) shart uchun bo‘lsa. shartlar (7). (9)-(11) masala yechimini o'ng tomon nuqtai nazaridan baholash uchun bizga maksimal printsip kerak.
2. Maksimallik tamoyili. (9)-(11) muammosini ko'rib chiqing. (9) tenglamani yo ga nisbatan yechamiz (88, a-rasmga qarang):
0 tartibsiz tugun bo'lsin (88-rasm, c ga qarang). U holda tenglamadan kelib chiqadi
Bu yerda - 0-tugun va 3-chegara tugunlari orasidagi masofa, . (13) va (14) dan ko'rinib turibdiki, har ikkala formulani shaklida yozish mumkin barcha uchun, bunda yig‘ish x tugunida markazlashtirilgan shablonning barcha tugunlari bo‘yicha amalga oshiriladi, x tugunining o‘zi bundan mustasno. Koeffitsientlar A(x) va B(x, t) shartlarni qanoatlantiradi,
Agar bo'lsa, u holda t dan chegara zonasidagi koeffitsientlaridan kamida bittasini rasmiy ravishda nolga tenglashtirish mumkin, shuning uchun . Agar, masalan, 3-tugun (91-rasm, a ga qarang) joylashgan bo'lsa, u holda, chunki salom. Agar ikkita tugun 2 va 3 (91-rasm, b ga qarang) chegara bo'lsa, u holda .
Shunday qilib, uchun shart
Shunday qilib, masalani ko'rib chiqing: da aniqlangan va tenglamani qanoatlantiruvchi y(x) funktsiyani topish kerak
Quyidagi teorema (maksimal printsip) o'rinlidir.
Agar izining hamma joyida bo'lsa, u holda (16) masala yechimi (konstantaga teng emas) to'rining ichki tugunlarida eng katta musbat qiymatni qabul qila olmaydi. Agar const va bo'lsa. da, u holda y(x) ichida eng kichik manfiy qiymatni qabul qila olmaydi.
Isbot. Barcha ichki tugunlarda bo'lsin. Aytaylik, y(x) qandaydir ichki tugunda musbat maksimal qiymat oladi. konst bo'lgani uchun nuqta mavjud bo'lib, bu nuqtada va qo'shni tugunida bizda mavjud . tugundagi (16) tenglamani ko rinishda qayta yozish mumkin
boʻlgani uchun (17) va (16) dan shunday xulosa chiqadi: , bu shartiga zid. Teoremaning birinchi qismi isbotlangan.
Ikkinchi qism ham xuddi shunday isbotlangan.
Xulosa 1. Agar va bo‘lsa, (16) masala yechimi manfiy emas: y(x) ⩽ 0 ning hamma joyida! kamida bitta tugunda y(x) funksiya manfiy; keyin u ichki tugundagi salbiy eng kichik qiymatni olishi kerak. Bu maksimal printsip tufayli mumkin emas (agar bo'lmasa).
Xulosa 2. Agar va va bo‘lsa, barcha - uchun y(x) ⩽ 0 bo‘ladi.
Xulosa 3. Bir jinsli tenglama
bir jinsli chegara sharti ostida faqat trivial yechimga ega.
Haqiqatan ham, uchun 1 va 2 xulosalar mos ravishda ya’ni ni beradi.
Shunday qilib, farq masalasi (16) yagona yechimga ega.
Xulosa 4. Bir jinsli tenglamaning yechimi (18) bahoni qanoatlantiradi
Bunda ((18) tenglamaning yechimi chegaradagi eng katta va eng kichik qiymatlarni oladi )
Quyidagi taqqoslash teoremasi amal qiladi.
y(x) (16) tenglamaning yechimi, esa o‘ng tomoni va chegara qiymati bo‘lgan bir xil tenglamaning yechimi bo‘lsin. Agar shartlar uchun uchun keyin barcha uchun
Xulosa 1 darhol ning hamma joyida ni beradi. funktsiyalari (16) tenglamani o'ng tomonlari va chegara qiymatlari qanoatlantiradi. va va farazlari bo‘yicha bo‘lganligi sababli, 1-chi xulosaga ko‘ra yoki yoki , ya’ni uchun .
Do'stlaringiz bilan baham: |
