|
n > 0, agar yoki , bu erda M h ga bog'liq bo'lmagan haqiqiy doimiydir).
formulalariga murojaat qilib, va taxminiy ekanligini koʻramiz. uchun 1-tartib bilan ni simulyatsiya qiling, bu erda 2. m ning ortishi yaqinlashish tartibini o'zgartirmaydi.
ifodasi va ikkita tugundagi v qiymatlarini o'z ichiga oladi to'rlari. operatori ikki nuqtali operator yoki 1-tartibdagi operator deyiladi.
ifodasiga kiradigan tugunlar toʻplami, tarmoq funksiyasining qiymatlari x, nuqtadagi operatorining shablonlari deb ataladi. Shubhasiz, operatorining shabloni ikkita tugun, va , shabloni esa , va tugunlaridan iborat.
Masalan, naqshida aniqlangan uch nuqtali operatorni olaylik:
(2)
bu yerda - ixtiyoriy son. Xususan, uchun markaziy farq hosilasini olamiz, uni osonlik bilan ko'rsatish mumkin, 2-tartibli ga yaqin.
Keyinchalik, biz belgidan foydalanamiz
(3)
Tugunning i raqami muhim bo'lmagan hollarda, biz uni o'tkazib yuboramiz va ni yozamiz
Endi ikkinchi hosila ni ko'rib chiqamiz. Shubhasiz, uni ikki nuqtali trafaretda yaqinlashtirib bo'lmaydi. Biz tugunlaridan iborat uch nuqtali trafaretni tanlaymiz va ko'rib chiqamiz. farq operatori
(4)
Agar bo'lsa, biz yozishimiz mumkin
(5)
Bundan kelib chiqadiki (biz i indeksini qoldiramiz).
(6)
ya'ni 2-tartibli ga yaqinlashadi.
To'rtinchi lotin ni taxmin qilish uchun tugunlaridan iborat besh nuqtali trafaretni tanlaymiz va o'rnatamiz.
(7)
Bu holda uchun . Besh ball bo'yicha stencil , taxminan olish mumkin uchun agar Darhaqiqat, (6) va (7) dan shunday xulosa chiqadi operator
4-chi yaqinlashuv tartibiga ega.
Amalda ko'p nuqtali shkala bo'yicha hosilalarni yaqinlashtirish Blons kamdan-kam qo'llaniladi, chunki shablonning ortishi bilan hisoblash ishlarining miqdori odatda ortadi va natijada farq qiluvchi operatorlarning sifati (barqarorlik ma'nosida) yomonlashadi.
Yana bir bor ta'kidlaymizki, ayirma operatorining yaqinlashish tartibi funksiyaning differentsialligi m tartibiga bog'liq. Hamma joyda biz haqiqatda maksimal yaqinlashish tartibi haqida gapirgan edik, u sinfning m soni ortib borishi bilan o'zgarmaydi, . dan istalgan funktsiyadir. Shubhasiz, ning maxsus tanlovi bilan yaqinlashish tartibi ortishi mumkin. Agar, masalan, tenglamaning yechimi bo'lsa, , ya'ni aynan bo'lganda ga yaqinlashadi.
Keyinchalik murakkab operatorni ko'rib chiqing
(9)
Bu yerda hududida oʻzgaruvchan x va t ikkita argumentning funksiyasi. , , to‘rini kiritamiz. qadamlar bilan va .
Biz almashtiramiz
Natijada biz farq operatorini olamiz
(10)
bu shaklida yozilishi mumkin, bu erda . Bu operator to'rt nuqtadan iborat naqsh bo'yicha aniqlanadi: (85-rasm). operatori barcha a tugunlarida aniqlanmagan, faqat da, ya’ni shablon faqat uihr to‘r tugunlaridan iborat bo‘lgan tugunlarda ichki deyiladi va w ni belgilaymiz.
barcha ichki tugunlar to'plami. Shunday qilib, operator , ichki tugunlarda da aniqlanadi. Chegara tugunlari deb ataladigan qolgan tugunlarda bo'lishi kerak
85-rasm
chegara va dastlabki shartlar berilgan. operatori da 1-tartibga, h da 2-tartibga ega:
(11)
chunki . Bu erda tub sonlar x ga nisbatan farqlashni anglatadi, nuqta t ga nisbatan farqlashni anglatadi.
Operatorni ko'rib chiqing
(12)
to'rt nuqtali shablonda aniqlanadi (85-rasm, b). U operator (10) bilan bir xil tartib bilan ga yaqinlashadi.
2-§ da operatorga (9) yaqinlashuvchi farq operatorlarining bir parametrli oilasini ko'rib chiqamiz. Bu turkumda (10) va (12) operatorlar mavjud.
Hozirgacha biz (yoki ) operatori uchun ga yaqinlik xatosining qiymatini , ya'ni me'yor bo'yicha deb baholadik.
(“normal holat”)
(13)
Grid funktsiyasining kattaligini baholash uchun , masalan, boshqa me'yorlardan ham foydalanish mumkin
(14)
to'rida aniqlangan funksiyalar uchun ma'lum norma hisoblanadi.Keyingi gaplarda ayirma operatori aytamiz: 1) differensial operator L ni normaga nisbatan yaqinlashtiradi agar uchun; 2) tartibli L ga yaqinlashadi ( n-chi yaqinlashuv tartibiga ega),
Agar - yetarlicha silliq funksiya boʻlsa va bir xil toʻr boʻlsa, u holda yuqorida koʻrib chiqilgan barcha farq operatorlari har qanday normada (13),(14) bir xil yaqinlashish tartibiga ega boʻladi.
Yagona bo'lmagan to'rda vaziyat boshqacha.
bo'lsin. , bosqichli bir xil boʻlmagan toʻrdir. oralig'ida 1. operatorini ko'rib chiqaylik. Biz uni farq operatori bilan bog'laymiz.
(15)
bu erda uch nuqtali naqshda aniqlangan .
taxminiy xatosini hisoblaymiz. deb faraz va kengaytmalardan foydalanish.
Toping
Bu shuni ko'rsatadiki, , bu yerda uchun har qanday norma (13), (14) hisoblanadi. Bundan kelib chiqadiki, va me'yorlarda yaqinlashuvning 1-tartibiga ega .
Keling, buni me'yorni to'g'ri tanlash bilan ko'rsataylik, ya'ni
operator (15) ushbu normada 2-chi yaqinlashuv tartibiga ega:
Chunki
va shuning uchun shaklda taqdim etiladi
ni hisoblab, shuni hisobga olsak, ni olamiz va shuning uchun
Bu erda M = const > 0 to'rga bog'liq emas, ya'ni (15) me'yorda 2-chi yaqinlashuv tartibiga ega har qanday bir xil bo'lmagan to'r bo'yicha . Bu natija normalar uchun ham amal qiladi
Shu esta tutilsinki
Keyinchalik, biz belgidan foydalanamiz
(16)
,
Agar to'ri bir xil bo'lmasa, (9) operatorni yaqinlashtirishda operator (15) ishlatiladi, shuning uchun (10) va (12) o'rniga bizda farq operatorlari mavjud - Bu holda, (11) o'rniga smetasini olamiz
(17)
bu yerda maksimal ustidan olinadi
Toʻr ham T pogʻonasi bilan bir xil boʻlmasligi mumkin
Ayirmali masala. Turg’unlik.
Do'stlaringiz bilan baham: |
