O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

3-teorema. Agar yadro kvadratda chegaralangan va o‘lchovli bo‘lib bo‘lsa, u holda istalgan chegaralangan o‘lchovli funksiya uchun (0.3) integral tenglama

formula bilan ifodalanuvchi yagona yechimga ega (7.2-teorema).
4-teorema. Agar va aynan nol funksiya bo‘lmasa, u holda shunday mavjudki, funksiya bir jinsli
(0.6)
tenglamaning aynan nolga teng bo‘lmagan o‘lchovli yechimi bo‘ladi (7.3-teorema).
Sakkizinchi paragrafda (0.3) ko‘rinishdagi ikkinchi tur Fredholm integral tenglamasi uchun Fredholm yuqori tartibli minorlari ((8.2) ga qarang) qaralgan va ular uchun Fredholmning umumlashgan fundamental munosabatlari ((8.3) va (8.4) ga qarang) isbotlangan. Bu fundamental munosabatlardan foydalanib quyidagi natija olingan.
5-teorema. Agar soni yadroning karrasi xarakteristik soni bo‘lsa, u holda (0.6) bir jinsli tenglama ta chiziqli bog‘lanmagan yechimlarga ega bo‘ladi va ixriyoriy yechim ularning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida tasvirlanadi, ya'ni yechim uchun
(0.7)
tenglik o‘rinli. Bu yerda sonlar ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
To‘qqizinchi paragrafda bir jinslimas (0.3) tenglama shartda ( qiymat yodroning karrali xarakteristik soni bo‘lgan holda) yechimga ega bo‘lishligining zarur va yetarli shartlari topilgan. Bundan tashqari yechim mavjud bo‘lgan hollarda yechimni topish usulini ham beradi.
6-teorema. Agar soni yodroning karrali xarakteristik soni bo‘lsa, u holda (0.3) tenglama umuman olganda yechimlarga ega emas. Bu tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun funksiya (0.6) bir sinsli tenglamaning barcha yechimlariga orthogonal bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni
(0.8)
shartlarning bajarilishi zarur va yetarli. Bu yerda lar (0.6) bir sinsli tenglamaning fundamental yechimlari. Agar (0.8) shartlar bajarilsa, u holda (0.3) tenglama cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘lib, ular

formula bilan aniqlanadi. Bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmaslar, (0.6) bir sinsli tenglamaning fundamental yechimlari, funksiya esa (8.15) tenglik bilan aniqlanadi (9.1-teorema).
O‘ninchi paragrafda Hilbert fazosida umumlashgan Fridrixs operatori
(0.9)
qaralgan. Agar uzluksiz funksiya bo‘lib, yadro haqiqiy qiymatli va da simmetrik, o‘lchovli va chegaralangan bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator bo‘ladi. Bu operatorning muhim spektri dan tashqarida yotuvchi xos qiymatlari uchun quyidagi tasdiq o‘rinli.
Biz bilan operatorning Fredholm determinantini belgilaymiz. Bu yerda birlik operator, esa Hilbert fazosidagi integral operator bo‘lib, uning yadrosi quyidagicha aniqlanadi: