Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi fargʻona davlat universiteti Matematika kafedrasi

Katta sonlar qonuni Chebishev va Bernulli teoremalari

t.m.lar o‘zgarmas son A ga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi, agar uchun

munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish kabi belgilanadi.

• 
  t.m.lar ketma-ketligi mos ravishda matematik kutilmalarga ega bo‘lib, son uchun da
  

munosabat bajarilsa, t.m.lar ketma-ketligi katta sonlar qoniniga bo‘ysunadi deyiladi.

Teorema(Chebishev). Agar bog‘liqsiz t.m.lar ketma-ketligi uchun shunday bo‘lib tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda uchun


(5.2.1)

munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. bo‘lgani uchun
. U holda Chebishev tengsizligiga ko‘ra:


. (5.2.2)

Endi da limitga o‘tsak, . ■

Natija. Agar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan t.m.lar va bo‘lsa, u holda uchun quyidagi munosabat o‘rinli
. (5.2.3)

II. 5. Ko’p o’lchovli xarakteristik funksiyalar

Bir o‘lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymarlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , n o‘lchovli deb ataladi.

Faraz qilaylik, ehtimollik fazosida aniqlangan t.m.lar berilgan bo‘lsin.

• 
  vektorga tasodifiy vektor yoki n-o‘lchovli t.m. deyiladi.
  

Ko‘p o‘lchovli t.m. har bir elementar hodisa ga n ta t.m.larning qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.

• 
  n o‘lchovli funksiya tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
  

Qulaylik uchun taqsimot funksiyani indekslarini tushirib qoldirib, ko‘rinishida yozamiz.
funksiya tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli taqsimot funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
1. , ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan.
2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas va chapdan uzluksiz.
3. Agar biror bo‘lsa, u holda
(3.1.1)
4. Agar biror bo‘lsa, u holda .
3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (3.1.1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. tasodifiy vektorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni ga tengdir.
Masalan, (n=2) ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal taqsimot funksiyalari soni ta bo‘lib, ular quyidagilardir: .
Soddalik uchun n=2 bo‘lgan holda, ya’ni (X,Y) ikki o‘lchovlik tasodifiy vector bo‘lgan holni ko‘rish bilan cheklanamiz.
Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi. U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.
Teorema(Bernulli). Agar A hodisaning bitta tajribada ro‘y berishi ehtimolligi p bo‘lib, n ta bog‘liqsiz tajribada bu hodisa marta ro‘y bersa, u holda uchun


(5.2.4)
munosabat o‘rinli.
Isboti. indikator t.m.larni quyidagicha kiritamiz: agar i-tajribada A hodisa ro‘y bersa, ; agar ro‘y bermasa . U holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: . t.m.ning taqsimot qonuni ixtiyoriy i da: bo‘ladi. t.m.ning matematik kutilmasi ga, dispersiyasi . t.m.lar bog‘liqsiz va ularning dispersiyalari chegaralangan, U holda Chebishev teoremasiga asosan: va ; bo‘lgani uchun . ■