Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi fargʻona davlat universiteti Matematika kafedrasi

1-misol. Agar bir ehtimol blan  bo’lsa,  bo’ladi.
2-misol. Faraz qilaylik,  tasodifiy miqdor uchun  bo’lsin, u xolda 
3- misol. O’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan  tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin va

Quyidagi  yig’indini  tuzamiz. U holda 3- xossaga ko’ra

Agar normallashtirilgan va markazlashtirilgan

Tasodifiy miqdorni olsak, u holda 2-xossaga asosan

4-misol. Faraz qilaylik,  standart N(0,1) normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin. U xolda

Agar  tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda 2-xossaga asosan

Buni  o’zingiz  mustaqil  isbotlashga  urinib  ko’ring.
II. 3. Teskari almashtirish formulalari.
Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini  avvalgi  paragrafda  ko’rdik. Turli taqsimot funksiyalarga turli xarakteristik funksiyalar mos keladi hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema. Agar  funksiyalar mos ravishda  tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsa hamda  va  funksiyaning uzluksiz nuqtalari bo’lsa, u holda

Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar  absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda  mavjud, uzluksiz, chegaralangan va 
Isbot. Quyidagi integralni hisoblaymiz:

Agar integral ostidagi funksiyalarning  oraliqda chegaralanganini e’tiborga olsak,

Matematik analiz kursidan ma’lumki,

Ushbu
ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,

Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki,  va  lar uchun

Natijada

Shu bilan birga  dan va  funksiyaning juftligidan

Agar  va  nuqtalarni  funksiyaning  uzluksiz  nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan

ifoda hosil bo’ladi. Agar  integralni

ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak,  ,  lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.
Natija. Yagonalilik teoremasi. Taqsimot funksiya o’z xarakteristik funksiyasi orqali bir qiymatli aniqlanadi. Agar  ayirma  da  funksiyani bir qiymatli aniqlashini e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi teoremadan natijaning isboti kelib chiqadi.
Xarakteristik funksiyalardan foydalanib, normal qonuning quyidagi muhim xossasini keltiramiz. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan bog’liq bolmagan  va  tasodifiy miqdorlarning yig’indisi yana normal taqsimotga ega bo’ladi.
Xaqiqatdan ham, bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda  va  parametrlar bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda  yig’indining xarakteristik funksiyasi:

Demak,  yig’indi parametrli normal taqsimotga ega.
Aksincha,  va  xarakteristik funksiyalar uchun

bo’lsa, u holda

bo’lishligini G. Karmer isbotlagan, ya’ni o’zaro bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar yig’indisi  normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda qo’shiluvchilarning  har biri ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.
parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. Uning xarakteristik funksiyasi quyidagiga teng:

Endi o’zaro bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda  va  parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.  Ular yig’indisining xarakteristik funksiyasi quyidagiga teng:

Demak,  tasodifiy miqdor  parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.