O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti «Fizika – matematika»

Tok tashuvchilar holatlarining o‘lchamli kvantlashishi. O‘lchamli kvantlashgan tizimlardagi tok tashuvchilar energiyasi ning impuls bilan bog‘lanishi ni hisoblashning ko‘p usullari mavjud. Jumladan, kuchli bog‘lanish yoki psevdo potensial metodlarini qo‘llab nanotuzilmalardagi tok tashuvchilar energiyaviy spektrini kompyuterlar yordamida juda katta aniqlik bilan hisoblash mumkin. Bunday hisoblashlarning noqulaylik tomoni uchun analitik ifodaning keltirilmaganligidadir.

bog‘lanishning analitik ko‘rinishi ayrim taqribiy hisoblashlar yordamida aniqlanadi. Oddiy zonali yarimo‘tkazgichli tuzilmalarda munosabatni hisoblash uchun samaraviy massa metodidan foydalanilsa, murakkab zonali yarimo‘tkazgichli tuzilmalarda samaraviy gamiltonian metodidan foydalaniladi. Bunday hollarda egiluvchi to‘lqin funksiyasi uchun Bastard sharti tanlanadi.

Kvant o‘ralarda elektronli holatlar. Kvantlashgan o‘ralar (KO‘), kvantlashgan iplar (KI), o‘tapanjaralar (O‘P) va kvantlashgan nuqtalar (KN) kabi nanotuzilmalar nanofizikada o‘rganiladigan ob’ektlar asosini tashkil etadi. Bundan fizikaning asosiy vazifasi nanotuzilmalardagi elektronli holatlar fizikaviy tabiatini aniqlashdan iborat. O‘lchamli kvantlashgan tok tashuvchilarning energiyaviy spektrini hisoblash maqsadida geometrik kengligi bo‘lgan potensial o‘rali ( o‘ra, potensial to‘siq) tuzilmani qaraylik.

Oddiy (bir) zonali yaqinlashishda egiluvchi to‘lqin funksiyasini

(2.1.1)

ko‘rinishda tanlaymiz. Bu hol izotropiyaviy va parabolik zona uchun o‘rinlidir. (2.1.1) ifodada va ikki o‘lchamli to‘lqin vektori va radius vektori, interfeys yuzasi, o‘lchamli kvantlashish yo‘nalishi bo‘lib, u potensial o‘ra sirtiga tik yo‘nalgandir. Bu model bo‘yicha tok tashuvchilar ikki o‘lchamli fazoda harakatlanadi. Shu sababli kvant o‘radagi tok tashuvchilarni ikki o‘lchamli tizim sifatida qarash mumkin. Kvantlashgan o‘ralarda translyasiyaviy invariantlik teoremasi, faqat vektorga nisbatan qo‘llaniladi.

Chekli potensial balandlik uchun qayd qilingan Shredinger tenglamasi ikki ko‘rinishli yechimga ega bo‘ladi [29]. Bastard shartidan va cheksiz balandlikli o‘ra uchun to‘lqin vektorining o‘lchamli kvantlashishi: kelib chiqadi va

(2.1.2)

Munosabatga ega bo‘lamiz. Bu yerda juft yechimlar uchun , toq yechimlar uchun esa . Shunday qilib o‘lchamli kvantlashgan elektronli holatlar diskret qiymatli indeks yordamida tartiblashgan bo‘ladi. Ularning energiyaviy spektri zonachalar deyiladi va vertikal o‘qi bo‘ylab biri ikkinchisiga nisbatan siljigan bo‘ladi. nuqtada ihtiyoriy ikki: va energiyaviy holatlar biri ikkinchisiga nisbatan kattalikka siljigan bo‘ladi.

O‘lchamli kvantlashgan o‘ralarda zarra. Jumladan nuqtalardan o‘tuvchi umuman o‘tkazmaydigan cheksiz balandlikli ikki potensial to‘siq orasidagi elektron harakati tahlil etaylik. Bunday holda cheksiz energiyaviy balandlikli potensial to‘siqning zarrachalarni o‘zidan umuman o‘tkazmasligi

(2.I.3.)

shartni qanoatlantiradi. U holda staitsonar Shredinger tenglamasining yechimi

(2.1.4.)

ko‘rinishda bo‘lishi;

(2.1.5.)

ekani ma'lum. Demak,

(2.1.6)

Bu tenglamaning. koeffitsiyentlaridan tashkil topgan aniqlanuvchining nolga tenglik sharti

(2.1.7)

dan

(2.1.8.)

ekanligi, bu shartdan esa

(2.1.9.)

ekanligi kelib chiqadi. Bunda haqiqiy sonlar. U holda elektronning kinetik energiyasi

(2.1.10)

kelib chiqadi. Bunday munosabat kristall qattiq jismlarning zonalar nazariyasida katta ahamiyat kasb etadi (n bunday holda, bosh kvant soni yoki zonalarning tartib raqamini anglatadi). To‘lqin vektori ning bunday qiymati uchun

(2.1.11)

munosabat o‘rinlidir. Bundan ko‘rinayaptiki n toq son bo‘lsa (A=V)

(2.1.11.a)

juft bo‘lsa (V=-A)

(2.1.11.b)

munosabatga ega bo‘lamiz. Normirovkalanganlik sharti

(2.1.12)

ni e'tiborga olsak normirovkalangan to‘lqin funksiyasining ko‘rinishi

(2.1.13)

Oxirgi ifodadan ko‘rinayaptiki n-ning qiymatiga qarab to‘lqin (holat) funksiyasi juft yoki toq funksiyalardan iborat bo‘ladi ( ning qiymati [-a, +a] oraliqda ekanini unutmasligimiz kerak). Shu sababdan holatlarning juftligi tushunchasi kiritiladi. Bu tushuncha elektronning bir holatdan (masalan U_n (x) ikkinchi holatga o‘tish ehtimolligini hisoblashda juda qo‘l keladi. o‘tish ehtimollik impuls operatorining quyidagi matritsa elementi bilan aniqlanadi:)

(2.1.14)

Integral noldan farqli qiymatga ega bo‘lishi uchun integral ostidagi ifoda ning juft funksiyasi bo‘lishligini taqozo etadi. Agar x ning toq funksiyasi ekanini e'tiborga olsak, U_mva funksiyalarining juftliligi qarama-qarshi (biri toq bo‘lsa, ikkinchisi juft va aksincha) bo‘lishini taqozo etadi. Shunday qilib juftligi qarama – qarshi bo‘lgan holatlar orasidagina kvantli mexanik o‘tishlar bo‘lishi mumkin. Juftligi bir xil bo‘lgan holatlar o‘rtasida o‘tishlar bo‘lmaydi, ya’ni ta’qiqlanganⁱ [25, 31].

Bunday masalalar qattiq jismlar fizikasi bobida optik o‘tishlar hodisalarini tahlil etishda juda qo‘l keladi.

Bu masalani to‘laroq hal etish maqsadida x=0 nuqtada bir tomonlama (yarim) o‘tkazuvchan V₀ cheksiz energiyaviy balandlikli to‘siq bo‘lganda elektronlarning harakatini tahlil etaylik. Demak =0 nuqtada masala mazmunan yuqoridagidan farq qilganligi sababidan bunday sohani ning [(-a, -) va (, +a)] qiymatlar sohasiga bo‘lib o‘rganamiz. U holda 2 potensial to‘siqning qalinligi bo‘ladi. U holda sohalarda elektronning to‘lqin vektori, odatdagidek munosabatdan oraliqda esa to‘lqin vektor munosabat yordamida aniqlanadi. Bu masala chegaraviy shartlar sifatida munosabatdan tashqari U(x) va larning nuqtalardagi uzluksizlik shartlari ham kiradi. Shunday qilib U(x) ning ko‘rinishi sohada

(2.1.15.a)

sohada

(2.1.15.b)

sohada

(2.1.15.v)

ko‘rinishda tanlasak, yuqoridagi mulohazalardan

(2.1.16.a)

, (.2.1.16.b)

, (2.1.16.v)

(2.1.16)

Yuqoridagi A₁, A₂, V va A larga nisbatan qayd etilgan to‘rtta tenglamalar tizimidan

(2.1.17.a)

. (2.1.17.b)

(1.2.16 a,b) tenglamalar chap taraflari tengligidan V= , bundan esa A₁= ₂ ekanligi kelib chiqadi. Bu holda pastki ishora yechim holatining juftligi manfiy, pastki ishora esa musbat ekanidan dalolat beradi.

Musbat juftli holatlar uchun

ekani kelib chiqadi. Bunda hol va A>> (o‘ta yupqa devor) uchun

. (2.1.18)

Shunday, qilib musbat juftli holatlar uchun o‘ta yupqa, yarim o‘tkazuvchan devorning o‘tkazmovchanlik koeffitsiyenti chekli, aksincha noaniq qolishi kelib, ya’ni

(2.1.19)

Demak, manfiy juftli yechimlarni qanoatlantiradigan potensial to‘siqni elektronlar his qilmaydi. Shu sababdan elektron to‘lqin funksiyalari

(2.1.20)

ko‘rinishi oladi. Bunda (n=1,2,3,...). (2.1.20) ifodadan demak, holatlar bir-biriga nisbatan assimetrik ekanligi kelib chiqadi.

Simmetrik holatlarning to‘lqin funksiyalari

= (2.1.21)

(n=1, 2, 3,...).

(2.1.21) ifodadan . Shunday qilib fazoviy inversiyaga nisbatan toq, U⁺ esa juftdir. Normirovkalanganlik shartidan

kelib chiqadi. (2.1.18) va (2.1.19) munosabatlardan toq va juft elektronli holatlarning energiyasini hisoblash mumkin. Shuni qayd etish kerakki bu munosabatlar qattiq jismlar fizikasining zonaviy tuzilishini o‘rganishda katta ahamiyat kasb etadi. Masalan, (2.1.18) tenglikni qanoatlantiradigan E ning qiymatlar sohasini “ruxsat etilgan energiyaviy zona”, tenglikni qanoatlantirmaydigan qismini esa man qilingan sohasini esa “ta’qiqlangan energiyaviy zona” deyiladi. Agarda bu tenglikni E ning ayrim qiymatigina qanoatlantirsa, u holda bu bitta energiyaviy satxning mavjudligidan dalolat beradi va bu sathda elektron lokallashgan bo‘ladi.

Endi potensial to‘siqning ( =0)dagi tabiatini oldindan tayinlaylik, aytaylik chekli energiyaviy balanlikli va Dirakning  - funksiyasi bilan ifodalangan bo‘lsin. U holda Shredinger tenglamasining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi

(2.1.22)

(x) funksiya x ga nisbatan juft funksiya ). (2.1.22) dan integrallab

yoki

(2.1.23)

Bundan logarifmik hosila x=0 nuqtada uzilishga ega bo‘lib, bu uzilish 2  ga tengligi kelib chiqadi.

Shredinger tenglamasining bu hol uchun xususiy yechimi juft va toq funksiyalar sifatida tanlanishi mumkin. Potensialning juftligida U⁺(x) funksiyaning x -0 va x  +0 yaqinlashishida logarifmik hosilasi (2 ga) uzilishga ega, ning logaifmik hosilasi esa x=0 nuqtada uzluksiz buladi. U holda yechim (1.2.20) ko‘rinishda tanlanadi. Bunda

(2.1.24)

Shunday, qilib simon potensialning mavjudligi toq yechimga ta'sir etmaydi, juft yechimga esa ta'sir etib, qiymatining x=0 nuqtada sakrab o‘zgarishiga olib keladi.

Biz yuqorida sifatli masala ko‘rib o‘tdik. Kelgusida esa miqdoriy masalalarni qarab chiqamiz. Shuning uchun maqsadda

ko‘rinishda ifodalangan to‘g‘ri burchakli potensial o‘rachadagi elektronli holatlar tahlil qilaylik.

Yuqorida ko‘rilgan masalada energiyaning musbat qiymati sohasi (2.1.5) ni ko‘rib o‘tdik. Shuningdek, E ning biror (musbat) qiymati ta'qiqlangan qiymatlar sohasiga kirib qolsagina u sath elektron uchun lokal holat bo‘lishi uqtirib o‘tildi.

Endi energiyaning manfiy qiymatli sohasini ko‘rib o‘taylik.

Energiyaning manfiy qiymatli sohasi elektron uchun bog‘langan energiyaviy holatni beradi.

Masalani dastlab juft yechimga nisbatan tahlil etaylik, so‘ngra (kezi kelganda) manfiy yechimga nisbatan ham tahlil qilamiz sohada

(2.1.25.a)

x>a sohada

(2.1.25.b)

Normirovkalanganlik shartidan

(2.1.26)

Bu yerda . Biz ning x=a nuqtada uzluksizlik shartidan foydalanib amplitudaviy qiymatlarning analitik ko‘rinishi topildi. x=a nuqtada ning uzluksizlik shartidan

(2.1.27)

munosabatni olamiz. Bu holda

(2.1.28)

ifodadan

(2.1.29)

Yuqoridagi mulohazalarni toq yechim ga nisbatan yuritib:

(2.1.30)

ning x=a nuqtada uzluksizlik shartidan

(2.1.31)

(2.1.29) va (2.1.31) dan

(2.1.32)

elektronning energiyasi potensial o‘rachaning energiyaviy balandligi V₀ bilan aniqlanishi kelib chiqadi.

Elektronning bog‘langan holati energiyasi tg(ka) va (juft yechim uchun) yoki ctg(ka) va (toq yechim uchun) funksiyalar grafiklarining =1; 1,5 qiymatlar uchun kesishish nuqtasi faqat juft sohasida bo‘ladi xalos; =2 va undan katta qiymatlarida kesishish nuqtalari ham juft, ham toq yechimlar sohasida mavjuddir. Demak, =1; 1,5 qiymatlarini qanoatlantiruvchi potensial o‘rachada musbat juftli bog‘langan holatlarning esa bo‘lishi mumkin emas. 2 munosabatni qanoatlantiruvchi potensial o‘rachada elektronning ham manfiy, ham musbat juftli bog‘langan holatlari uchraydi. Bu yerda shuni qayd etish kerakki ning ortishi bilan unga mos keluvchi energiyaviy qiymat kamaya boradi [24, 29].

Yuqorida olgan natijalarni E=V₀ hol uchun ehtiyot bo‘lib qo‘llashni talab etadi, chunki energiyali elektronlarning to‘siq usti kvantli mexanik sochilish sodir bo‘lishi mumkin. Bunday sochilishning fizik tabiati “sochilishlar nazariyasi” yoki shunga o‘xshash matnlarda qayd etish niyatidamiz.

Masalani to‘la qarash va nanotuzilmalarda ko‘p ishlatiladigan almashtirishga nisbatan invariant (o‘z shaklini o‘zgarmas qoluvchi) V(x) =V(x+na) (n=0; 1; 2; ...), ya’ni davriy potensial maydonda elektronning harakatini tahlil qilaylik. V(x) =V(x+na) davriylik shartini qanoatlantiruvchi davriy potensial maydonga nisbatan qayd etilgan statsionar Shredinger tenglamasining ikki o‘zaro chiziqli bog‘lanmagan U₁(x) va U₂(x) yechimi mavjud bo‘lsa, U₁(x+a) va U₂(x+a) funksiyalar ham yechimi bo‘la oladi. U holda

(2.1.33)

ifodalar ham Shredinger tenglamasining yechimi bo‘la oladi. Agar o‘rinli bo‘lsa, u holda , ya’ni munosabat o‘rinlidir.

Shuningdek,

(2.1.34)

yoki

(2.1.35)

Agar A va V larning koeffitsiyentlardan tuzilgan determinant nolga teng bo‘lsagina, A va V lar notrivial echimlarga ega bo‘ladi:

(2.1.36)

(2.1.36) ga nisbatan ₁ va₂ larga mos keladi.

oralik hisoblarni e'tiborga olmasdan, tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning fizik mohiyatiga ega bo‘lgan qiymati uchun

(2.1.37)

munosabatlarga ega bo‘lamiz va ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan sohasi

(2.1.38)

ni aniqlaymiz. Shunday qilib

(2.1.39)

(2.1.39) ga asosan x ning [a, 2a] qiymatlar oralig‘i uchun

(2.1.40)

bu oraliqning chegaraviy qiymatlarida to‘lqin funksiya va uning hosilalari uzluksiz qolishi kerak, ya’ni

(2.1.41)

U holda elektronning energiyaviy spektrini topish maqsadida

(2.1.41)

Tenglamani yechish kifoya. Bundan

(2.1.42)

(2.1.42) da . Vronskiy aniqlovchisi yoki vronskian deb yuritiladi.

(2.1.42) ifodaning chap tarafi [-1; +1] qiymatlar oralig‘iga ega bo‘lsa, o‘ng tomoni ixtiyoriy qiymat qabul qilishi mumkin. Tenglikni qanoatlantiruvchi ning, ya’ni energiyaning qiymatlari ruxsat etilgan energiyaviy oraliq (zona) ni, aksincha – ta’qiqlangan energiyaviy oraliqni hosil qiladi.

Demak, potensialning davriyligi bunday potensial ta'siridagi elektronning energiyasini ikki xil:

1. 
   Ruxsat etilgan.
   
2. 
   Ta'qiqlangan.
   

Oraliklarga ajratib qo‘yadi. Tabiiyki, birinchi oraliqda elektronlarning bo‘lishi mumkin (erkin harakatda ishtirok etadi, ikinchi oraliqda erkin eletron bo‘la olmaydi) (bog‘langan holatda bo‘lishi mumkin albatta).

Kelgusida

Shartni qanoatlantiruvchi: chekli energiyaviy chuqurlikli, kengligi 2a bo‘lgan sohadagi zarrachaning to‘lqin funksiyasi va energiyaviy spektrini aniqlaylik.

Yuqorida ta'qiqlangan uchchala sohadagi zarrachaga nisbatan Shredinger tenglamasining ko‘rinishi quyidagicha

(2.1.43)

bo‘lib, yechimlarini

(2.1.44)

ko‘rinishda izlaymiz. Kelgusida qaysi sohada bo‘lmasin massasi o‘zgarmasdan qoladi deb qabul qilamiz. Shunday ekan

(2.1.45)

diskret energiyalar sohasini tekshirish maqsadimiz bo‘lganligi sababdan energiyaviy o‘zgarish bo‘luvchi chegaralardagina to‘lqin funksiyalarining uzluksizligidan tashqari to‘lqin funksiyalar logarifmik hosilasining ham uzluksizligini talab etish maqbul. Shu sababdan kelgusida V₁=0 va A₃=0 deb olamiz:

(2.1.46)

to‘lqin funksiyalarining ko‘rinishlari

(2.1.47)

(2.1.46) chegaraviy shartlardan

, (2.1.48.a)

(2.1.48.b)

(2.1.48.v)

(2.1.48.g)

U holda to‘lqin funksiyalarining ko‘rinishlarini aniqlash uchun quyidagi foydali munosabatlarni qayd etish ma'qul:

(2.1.49.a)

Normirovkalanganlik sharti dan

(2.1.50)

kelib chiqadi. (2.1.49a) ni e'tiborga olib (2.1.50) dan A₂ ning, so‘ngra V₂, A₁, V₃ larning ko‘rinishini topish mumkin. Bunda

(2.1.51)

e’tiborga olinishi kerak.

Zarrachaning energiyaviy spektrini topish maqsadida (2.1.48.a, b, v, g) tenglamalardagi A₁, A₂, V₁, V₂ larga nisbatan hosil qilingan aniqlanuvchini yechsak

(2.1.52)

transsendent tenglamaga ega bo‘lamiz (n - natural sonlar to‘plami). Bu tenglamaning chap tomoni kning miqdoridan ortishi bilan monoton o‘suvchi, o‘ng tomoni esa monoton kamayuvchi funksiyalardir. Demak, E qiymatining karraligi (aynish darajasi) n-ning son qiymatiga bog‘liq. Masalan n=1 uchun hech bo‘lmasa bitta energiyaviy sathning potensial o‘rachada mavjudlik sharti quyidagicha.

(2.1.53)