O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim va innovatsiyalar vazirligi urganch Davlat Universiteti

2 - Teorema: Uchburchak ichki burchagining bissektrisasi qarshisidagi tomonni unga yopishgan tomonlarga proporsional qismlarga bo’ladi.
Isboti: AD kesma ΔABC ichki ∠A = α burchagining bissektrisasi bo’lsin, yani ∠BAD = ∠DAC bo’lishini isbotlash kerak. Uchburchakning B va C uchlaridan AD to’g’ri chiziqqa perpendikularlar tushiramiz: BE ⊥ AD, CF ⊥ AD. U vaqtda ΔABE va ΔACF lar to’g’ri burchakli va ularda ∠BAF = ∠CAF bo’lganligidan, ular o’xshash bo’ladi, yani ΔABE ΔACF. Bundan AC=CF=AB=BE kelib chiqadi.Ikkinchi tomondan, CFD va BDE lar to’g’ri burchakli va vertikal burchaklar bo’lgani uchun ∠BDE=∠CDF tenglik o’rinli, demak, uchburchaklar o’xshashdir, yani CFD BDE. Bundan yoki(b) kelib chiqadi.

16-rasm 17-rasm
Hosil qilingan (a), (b) tengliklarni taqqoslab, talab qilingan tenglikni hosil qilamiz. Teorema isbotlandi. Endi uchburchak bissektrisalarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz. Tomonlari AB = c, BC = a, AC = b bo’lgan ΔABC da AD bissektrisani o’tkazamiz (18-rasm) va uning uzunligini a, b, c orqali ifodalaymiz. Uchburchak ichki burchagi bissektrisasining xossasiga ko’ra munosabatlarni olamiz. Bu qiymatlarni Stuart teoremasidagi

18-rasm
·BD+ ·DC= ·BC + BD · DC · BC ifodaga keltirib qo’yamiz:
Oxirgi ifodani ga qisqartirib,
Yoki ifodaga ega bo’lamiz. Agar yuqoridagi kabi, a+b+c= =2p deb belgilasak, b +c– = +b+c–2=2p–2 =2(p– ) bo’ladi.
U holda oxirgi formula ko’rinishini oladi.
Uchburchakning medianasi.
ΔABC da AD mediana va AK balandlik o’tkazilgan bo’lsin (19-rasm). Kesmalar uzunliklari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: AB = c, AC = b, BC = a, AD = . AD mediana bo’lganligidan
BD=DC= . Endi ΔABC uchun Stuart teoremasini yozamiz:
·BD+ ·DC= ·BC + BD · DC · BC yoki

Bu tenglikning ikkala tomonini a ga qisqartiramiz:

Bunda , ifodani olamiz.

19-rasm
Yuqoridagiga o‘xshash, medianalar uchun ushbu ifodalarni olamiz: