O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim va innovatsiyalar vazirligi urganch Davlat Universiteti

Uchburchakning balandligi.
Berilgan ΔABC ning tomonlari AB = c, BC = , AC = b bo’lsin (31-rasm). Unda AK ⊥ BC balandlik o’tkazamiz. Agar ∠B < 90° bo’lsa, to’g’ri burchakli ABK va ACK uchburchaklardan = AK²+KC², AK² = c² – BK² ifodalarni topamiz. Ulardan
= — + = — + —2 ·BK+ b²= + c² —2 · BK
bo’ladi. Bundan BK= kelib chiqadi. Olingan ifodani AK uchun yuqorida
olingan ifodaga keltirib qo’yamiz:



Bundan

bo’ladi. +b+c=2p deb belgilab, qolgan ko’paytuvchilarni p orqali ifodalaymiz: b + c – = + b + c – 2 = 2p – 2 = 2(p – ),
+ c – b=2(p – b), + b – c = 2(p – c).
Natijada AK balandlik uchun
va ifodani olamiz. Qolgan balandliklar uchun ham, yuqoridagiga o’xshash, formulalarni hosil qilamiz.

15-rasm
Uchburchakning bissektrisasi.
Uchburchak burchagi bissektrisasining bazi xossalarini ko’rib o’tamiz.
1 - Teorema: Burchak bissektrisasining nuqtalari burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotadi.
Isboti: AD to’g’ri chiziq BAC burchakning bissektrisasi, yani ∠BAD = =∠DAC bo’lsin AD bissektrisada ixtiyoriy K nuqtani olib, bu nuqtadan burchakning tomonlariga KN ⊥ AC, KM ⊥ AB perpendikularlar tushiramiz. Hosil qilingan to’g’ri burchakli AKM va AKN uchburchaklarda gipotenuza umumiy va ∠MAK, ∠KAN o’tkir burchaklar teng bo’lgani uchun, ular o’zaro teng bo’ladi: ΔKMA ΔKNA. Teng uchburchaklarda teng burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi. Shuning uchun, KM =KN. Teorema isbotlandi.