O‘xshashlik. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema

Eyler chizig‘i.) Ushbu topshiriqda ABC uchburchakning sentroidi, tashqi chizilgan aylananing markazi va ortomarkazi kollinearligini isbotidan foydalanish kerak. Hosil bo‘lgan to‘g‘ri chiziq Eyler chizig‘i deyiladi. O‘ng tomondagi rasmda G nuqta ABC uchburchakning sentroidi, О nuqta tashqi chizilgan aylananing markazi bo‘lsin. P nuqtani OG nurda shunday joylashtirish kerak-ki,

GP:OG = 2:1.

1. 
   A' nuqta (AG) va (BC) larning kesishish nuqtasi bo‘lsa, OGA' PGA o‘xshashligini ko‘rsating. (Ko‘rsatma: 13-betdagi GA: GA' = 2: 1.)
   
2. 
   (AP) va (ОА') to‘g‘ri chiziqlarning parallelligini keltirib chiqaring, bu yerda P nuqta A uchidan tushirilgan balandlikda yotadi.
   
3. 
   Analogik tarzda P nuqta B va C uchlaridan tushirilgan balandliklarda yotishini va ABC uchburchakning ortomarkazi ekanligini ko‘rsating.
   

1^ Agar C uchidagi tashqi burchagining bissektrisasi va (AB) to’g’ri chiziq parallel bo’lsa, nima bo’ladi?

2^ (AE) va (FB) to’g’ri chiziqlar parallel ham bo’lishi mumkin. Haqiqatdan ham, bunday to’g’ri chiziqlarning barcha juftliklari parallel bo’lishi mumkin, bu esa hozirgi holatni mavjud emaslikka olib keladi. Bunga qaramasdan, hozirgi yondashuvda “metrik” g’oyalarga asoslangan Menelay teoremasidan farqli ularoq, Papp teoremasi kollinearlik haqida bo’lib, “proyektiv geometriya”ga tegishli teorema hisoblanadi. Shunday qilib, (AE) va (FB) to’g’ri chiziqlar parallel bo’lganda, ular proyektivlikka asosan “cheksizlikda” uchrashadi, ularga proyektiv shakl almashtirishni qo’llab, X, Y va Z nuqtalarning kollinearligini saqlagan holda “cheksizlikda”gi uchrashish nuqtasini chekli tekislikga o’tkazish mumkin.