O‘xshashlik. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema

Cheva teoremasi. Berilgan ABC uchburchakda А, В va С uchlardan chiqarilgan to‘g‘ri chiziqlarning (odatda Chevianalar deyiladi) mos ravishda (BC), (AC) va (АВ) to‘g‘ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalari X, Y va Z bo‘lsin. (AX), (BY) va (CZ) to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada kesishishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi yetarli va zarur:




Isbot. Faraz qilamiz, teoremadagi to‘g‘ri chiziqlar bir P nuqtada kesishishadi Oldingi lemmadan uch marta foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Teskarisini isbotlash uchun (AX ), (BY ) va (CZ ) to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishidan quyidagi tenglik kelib chiqadi:

bo‘lsin. Shunda va to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi va

dan quyidagi tenglik kelib chiqadi

9.35-rasm
Bundan tengligi kelib chiqib, berilgan va to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishishini isbotlaydi.

Menelay teoremasi Cheva teoremasining ikki tomonlama varianti bo‘lib, to‘g‘ri chiziqlar (Chevianalar) haqida emas, balki uchburchak tomonlari (yoki ularning davomlari) da joylashgan nuqtalar haqida. Ushbu uchta nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotsa, hosil bo‘lgan to‘g‘ri chiziq transversal deyiladi. Kitobxon ABC uchburchak bilan bog‘liq ikkita holat borligini ko‘rish mumkin:

9.36-rasm

Cheva teoremasiga o‘xshab, holatlar soni quyidagi berilgan nisbatlardan kelib chiqadi:

Biroq, bu holda koeffitsiyentlardan yoki bittasi yoki uchtasi manfiy bo‘lishi kerak, bu esa yuqorida ko‘rsatilgan figuralarga mos keladi.