O‘xshashlik. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema

medial uchburchagi deyiladi.

9.49-rasm

12. 
    Quyidagi rasmda ikkita chiziqqa “ichki chizilgan” geksagramma berilgan. Keltirilgan ko‘rsatmalardan foydalanib, X, Y va Z nuqtalarning kollinearligini ko‘rsating. Ushbu natija odatda Papp teoremasi deyiladi.
    

1-qadam. (AE) va (FB) to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi G deb belgilaymiz, quyida keltirilgan GHI uchburchakni tahlil qilamiz².

9.50-rasm
2-qadam. Menelay teoremasini har biriga qo‘llab, transversallarga qarang:

[CZE] shunga o'xshab

[ABC] shunga o'xshab

[DEF] shunga o'xshab

3-qadam. Yuqoridagi beshta nisbatlar ko‘paytirilib o‘xshashlari qisqartirilsa – 1 ga teng bo‘ladi.

9.51-rasm

13. 
    Bu masalada o‘ng tomondagi rasmda ko‘rsatilganiday geksogramma aylanaga ichki chizilgan bo‘lsin. [AC] va [FD] kesmalarni kesishish R nuqtasigacha davom ettirib, PQR uchburchagiga asoslangan holda Paskal teoremasini isbotlang, ya’ni X, Y, Z nuqtalarni kollinearligini. (Papp teoremasiga o‘xshab davom ettirish kerak: [BXF], [AYD] va [CZE] transversallarni ifodalab, nisbatlarni bir-biriga ko‘paytirish lozim).
    

9.52-rasm

14. 
    To‘g‘ri chiziq PQRS to‘rtburchakning [PQ], [QR], [RS] va [SP] tomonlarini mos ravishda U, V, W va X nuqtalarida kesib o‘tadi. Menelay teoremasidan foydalanib, quyidagi tenglikni isbotlang:
    

O‘ng tomondagi rasmda markazlari A, B va C nuqtalarida joylashgan turli radiusli aylanalar ko‘rsatilgan. X, Y va Z nuqtalar aylanalarga o‘tkazilgan urinmalarning kesishgan nuqtalari bo‘lsa, X, Y va Z nuqtalarning kollinearligini isbotlang.

15. 
    (