Основные понятия функции двух переменных

Пример 2.5. Найти полный дифференциал функции .
Решение. Находим частные производные первого порядка:
, , .
Согласно формуле (2.7) получаем
.

Полный дифференциал функции (формула (2.6)) называется также дифференциалом первого порядка.
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:




.

Итак,
. (2.8)

Аналогично можно получить формулы для дифференциала третьего и более высокого порядков.

Пример 2.6. Найти , если .
Решение. Находим частные производные первого порядка:
.
Находим частные производные второго порядка:
, , .
Согласно формуле (2.8) получаем
.



2.4. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть  функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной , т.е. . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной , а переменные и будут промежуточными переменными.

Теорема 2.2. Если  функция, дифференцируемая в точке , и  дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле:
. (2.9)
Доказательство. Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции получат приращения и соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции .
Так как по условию функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно представить в виде
,
где и при . Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций (по условию они дифференцируемые). Получаем:
.
Далее
,
или
. 
Частный случай: , где , т.е.  сложная функция одной независимой переменной . Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . Согласно формуле (2.9) имеем:
,
или
. (2.10)
Формула (2.10) называется формулой полной производной.


Общий случай: , где . Тогда  сложная функция независимых переменных и . Ее частные производные и можно найти по следующим формулам:
и . (2.11)