Основные понятия функции двух переменных

Определение 1.8. Функция называется непрерывной в точке , если полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов и стремятся к нулю, т.е.
.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели для функций одной переменной.

2. 
   ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФНП
   

2.1. Частные производные ФНП

Рассмотрим линию пересечения поверхности с плоскостью , параллельной плоскости . Так как в этой плоскости сохраняет постоянное значение, то вдоль кривой будет меняться только в зависимости от изменения . Дадим независимой переменной приращение , тогда получит приращение, которое называется частным приращением по и обозначают через (на рисунке отрезок ), так что

.
Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а получает приращение

параллельной плоскости .
Наконец, придав аргументу приращение , а аргументу приращение , получим для новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой
.
На рисунке изображено отрезком .
Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .


Определение 2.1. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда
. (2.1)