Основные понятия функции двух переменных

Пример 2.7. Найти , если .
Решение. Используя формулу (2.11), найдем :

Надо отметить, что формулы (2.11) можно обобщить для случая большего числа переменных.
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, является ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.


2.5. Дифференцирование неявной функции

Функция от двух переменных называется неявной, если она задается уравнением , неразрешенным относительно .

Для вычисления частной производной (или ) надо зафиксировать и дифференцировать уравнение , имея в виду, что зависит от . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
, т.е. .
Откуда
или . (2.12)
Аналогично
или . (2.13)
Если хотим, чтобы эти производные принимали определенное значение, то надо требовать, чтобы выполнялось, так называемое, условие существования неявной функции
.
Пример 2.8. Найти частные производные функции, заданной уравнением:
.
Решение. Здесь . Далее находим
.
По формулам (2.12) и (2.13) получаем:
и .


3. 
   ИССЛЕДОВАНИЕ ФНП
   

3.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида .

Так как через точку проходит бесчисленное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку будет, вообще говоря, бесчисленное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности .

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь сформулируем теорему, которую примем без доказательства.

Теорема 3.1. Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).


Если уравнение поверхности задано в неявном виде и , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:
. (3.1)


Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности имеет вид:
. (3.2)