Основные понятия функции двух переменных

Предел и непрерывность функции двух переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.

Введем понятие окрестности точки.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки.
Определение 1.6. Число называется пределом функции при и (или, что то же самое, при  ), если для любого существует такое, что для всех и и, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают:
(1.1)
или
.

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к (число таких направлений бесконечно). Определения бесконечно малых и бесконечно больших величин являющихся функциями двух переменных, аналогичны соответствующим определениям для функций одной переменной.

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется -окрестность точки , что во всех точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа по модулю меньше, чем на .
Пример 1.2. Найти предел .
Решение. Будем приближаться к по прямой , где  некоторое число. Тогда
.
Функция в точке предела не имеет, т.к. при разных значениях предел функции не одинаковый (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.


Определение 1.7. Функция (или ) называется непрерывной в точке , если она:

1. 
   определена в этой точке и некоторой ее окрестности;
   
2. 
   имеет предел ;
   
3. 
   этот предел равен значению функции в точке , т.е.
   

или .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, например, функция имеет линю разрыва .

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим , . Значит, и . Величины и называются приращениями аргументов и . Тогда . Величина называется полным приращением функции в точке .