Основы теории фильтрации многофазных систем

ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ
Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:
жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми); жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда — недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны; относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности; гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Полная система уравнений
Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.
В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси. х(рис.3) уравнения неразрывности (11) для фаз имеют вид

Обобщенный закон Дарси (12) сводится к уравнениям





Рис. 3. Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести


Здесь —угол наклона оси к горизонту (см. рис. 3); и — плотности фаз.
Неизвестные характеристики течения зависят от координаты и времени .
При плоскорадиальном (осесимметричном) вытеснении из (11) и (12) имеем соответственно
(17)

(18)
где — текущее расстояние от скважины до произвольной точки пласта. В этом случае искомые функции зависят от и .
Уравнения (15), (16) или (17), (18) с учетом (13) образуют замкнутые системы (соответственно для случаев линейного и радиального течений), являющиеся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью этих систем является то, что их можно свести к одному уравнению для насыщенности. Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ней жидкостью. Остановимся на двух наиболее изученных моделях двухфазной фильтрации.
Модель Рапопорта—Лиса
Приведем вывод уравнения для насыщенности из полной системы уравнений. Рассмотрим сначала случай прямолинейно-параллельного течения.
Сложив уравнения неразрывности (15) для обеих фаз, получим

откуда находим
(19)
Равенство (19) показывает, что суммарная скорость двухфазного потока (а значит и суммарный расход фаз , где и — ширина и толщина пласта) не зависит от координаты х, т. е. является либо постоянной, либо известной функцией времени. Это является следствием предположения о несжимаемости фаз. Подставив в (19) значения скоростей фаз ( и ) из (16), на ходим

Исключаем отсюда градиент давления с помощью равенства (13), продифференцированного по :


После преобразований имеем
(20)
Подставляя это равенство в первое уравнение (16), будем иметь
(21)
где и введено обозначение
(22)


Функция , как мы убедимся в дальнейшем, играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных фильтрационных потоков.
Используя выражение (21) и уравнение неразрывности (15) для первой фазы, окончательно получаем уравнение для определения насыщенности:


(23)
Считая суммарную скорость фильтрации постоянной , введем для удобства безразмерные независимые переменные
(24)

где — характерный линейный размер (расстояние до эксплуата­ционной галереи, так что —«поровый объем» пласта). Величину можно рассматривать как объем пласта между начальным сечением и сечением х, выраженный в долях порового объема, а величину — как безразмерный объем жидкости, закачанной в пласт к моменту времени .
Тогда с учетом выражения (13) для капиллярного давления, уравнение (23) с учетом (24) принимает вид
(25)
где и — безразмерные параметры, определяемые из равенств
(26)
Аналогично получается уравнение для насыщенности при радиальном вытеснении. Исходя из уравнений (17) и (18), получаем последовательно
(27)
где — «удельный» суммарный расход фаз;
(28)
и окончательное уравнение для насыщенности
(29)
Заметим, что согласно (27) суммарная скорость фаз в этом случае не сохраняется, но сохраняется суммарный объемный расход .
Вводя безразмерные переменные при
(30)
(здесь — расстояние от нагнетательной до добывающей скважины), имеющие физический смысл, аналогичный (24). приведем уравнение (29) к следующему виду
(31)
где

(32)
Безразмерные параметры (26) и (32) характеризуют соответственно отношение силы тяжести (параметры и ) и капиллярных сил ( и ) к силам вязкости. Значимость гравитационных и капиллярных эффектов нетрудно оценить при рассмотрении конкретных фильтрационных процессов.
Если рассматривается вытеснение в пределах всего пласта и темпы вытеснения достаточно велики, то значения параметра (или ) будут малы, т. е. и капиллярными силами можно пренебречь.
Силой тяжести можно пренебречь, если , что имеет место при условии
.
Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение (25) без, учета силы тяжести ( ) было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта-Лиса.
Уравнения (25) и (31) представляют собой сложные нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомо­дельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ.
Начальные и граничные условия
При решении конкретных задач для уравнений (25) или (31) должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции в зависимости от пространственных координат ( или ) при . Можно считать, что при на­сыщенность всюду постоянна (например, ).
В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из послед­него условия вытекает (см. формулу (12)), что k₂ = 0, следовательно, на этой поверхности .
На выходе из пласта ( ) возможно два варианта граничных условий.

1. 
   Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при , откуда следует, что.
   

при . (33)

2. 
   Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока ее насыщенность не достигнет значения . В момент достижения значения вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.
   

Модель Баклея—Леверетта
Если капиллярными силами можно пренебречь, то давления в фазах одинаковы: . Тогда, полагая в (25) и (31) , получаем дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для определения насыщенности:
(34)
где — соответственно для случаев прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения; коэффициенты равны соответственно величинам и в соотношениях (26) и (32). Уравнение (34) принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка, которые обычно решаются методом характеристик и имеют свои существенные особенности, при решении по сравнению с параболическими уравнениями (25), (31).
Без учета силы тяжести ( в (34)) двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.
Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил, основанные на решении уравнений типа (34) при соответствующих начальном и граничных условиях, известны как задачи (модель) Баклея—Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одно­мерной постановке изучены достаточно полно.