Основы теории фильтрации многофазных систем

ФИЛЬТРАЦИЯ ТРЕХФАЗНОЙ СМЕСИ
Фильтрация смеси трех флюидов исследована (экспериментально и теоретически) в меньшей степени, чем движение двухфазной жидкости. Вместе с тем фильтрация трехфазной смеси имеет большое практическое значение, так как в нефтегазоносных пластах при определенных условиях совместно движутся нефть, вода и свободный газ. Так в случае, если нефть находится в пласте в смеси со свободной водой при снижении давления ниже давления насыщения начинается выделение газа из раствора и в пласте образуется подвижная трехфазная смесь нефть—вода—газ. Давление насы­щения является физической константой нефти того или иного района.
В основу описания фильтрации трехфазной системы положен обобщенный закон Дарси (4), который (без учета силы тяжести и капиллярных сил) для одномерного потока принимает вид
(69)
где насыщенности фаз удовлетворяют равенству

Относительные фазовые проницаемости определяются из треугольных диаграмм (см. гл. 1). Проницаемость для воды практически не зависит от соотношения насыщенностей двух других фаз.
К уравнениям движения (69) добавляются уравнения неразрывности для каждой фазы, а также уравнения состояния и соотношения, определяющие механизм фазовых переходов в процессе совместной фильтрации, а также изменение физических свойств флюидов. Учет всех этих факторов представляет собой весьма сложную задачу.
Большим шагом в упрощенном математическом моделировании совместной фильтрации нефти, газа и воды явилась предложенная М. Маскетом и М. Миресом (1936 г.) модель течения, позволившая достаточно удовлетворительно решать некоторые инженерные задачи разработки месторождений природных флюидов. В основу этой модели положено предположение, что углеводородная система состоит из двух фаз: жидкой нефтяной (тяжелые фракции нефти) и газовой. При этом фаза «нефть», как было принято М. Маскетом, является нелетучей жидкостью и не может растворяться в газовой фазе; газ же может находиться как в свободном состоянии, так и быть растворенным в нефти. Растворимостью углеводородных компонентов в пластовой воде пренебрегают. Движение предполагается изотермическим, капиллярным скачком давления пренебрегают.
Будем считать, что растворение газа в нефти подчиняется линейному закону Генри:
(70)
Здесь (и далее в этом параграфе) индексом «о» отмечены параметры при нормальных атмосферных условиях; , — соответственно объем растворенного газа и объем нефти при нормальных условиях, индексы «н» («в») и «г» относятся соответственно, к нефти (воде) и газу; — коэффициент объемной растворимости газа, являющийся экспериментальной функцией давления .
При описании фильтрации газированной жидкости . Маскет использовал понятие объемного коэффициента жидкости р, определяемого для нефтяной и водной фазы соответственно из соотношений
; , (71)
где и — соответственно объемы нефти с растворенным в ней газом и воды в пластовых условиях.
Из (71) вытекает следующее соотношение между плотностями нефти (и воды) при нормальных ( ) и пластовых ( ) условиях
С учетом принятых допущений о составах газа и жидкой углеводородной фазы и кинетике растворения газа дифференциальные уравнения совместной фильтрации газированной жидкости, соответствующие модели Маскета—Миреса, можно получить из общих уравнений многофазной фильтрации (см. § 3). Для простоты огра­ничимся случаем прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х. Обобщения на случай трехмерного фильтрационного потока можно сделать аналогично § 3.
Будем считать, что фильтрация фаз (нефти, газа и воды) подчиняется обобщенному закону Дарси (69).
Уравнение неразрывности (9) для каждой из фаз в рассматри­ваемом случае принимает вид
(73)
где индекс соответствует нефти («н»); — газу («г»), — воде («в»).
Заменяя плотности нефти и воды в пластовых условиях их выражениями из (72) и используя закон Дарси (69), из (73) находим для этих фаз соответственно (т и k — постоянны)

(74)
где относительные фазовые проницаемости являются эмпирическими функциями насыщенностей: , , а объемные коэффициенты и коэффициенты вязкости зависят известным образом от давления: , и ,
При составлении уравнения неразрывности для газа необходимо учесть, что газ движется как в свободном, так и в растворенном (жидком) состоянии. При этом газ в жидком виде переносится со скоростью фильтрации «нефти» , а плотность растворенного газа , как следует из (70) и (71), равна

Тогда суммарная массовая скорость газа определится из соотношения
(75)
Подсчитаем теперь суммарную массу газа в единице порового объема.
Массовое содержание нефти в единице объема с учетом (72)

откуда находим удельный объем нефти при нормальных условиях

а затем с помощью (70) — объем растворенного газа

Тогда масса газа, растворенного в нефти, и масса свободного газа в единице объема равны соответственно

Суммируя эти величины, находим полную массу газообразной фазы в единице порового объема
(76)
Подставляя выражения (75) и (76) в (73) ( ) и учиты­вая (69), получаем дифференциальное уравнение для газовой фазы
(77)
Дифференциальные уравнения (74), (77) представляют со­бой замкнутую систему уравнений для определения насыщенностей , и давления и известны как уравнения Маскета—Миреса. Несмотря на принятые упрощающие допущения, это — сложная система уравнений, нелинейная как по давлению, так и по насыщенностям и требующая для своего решения использования ЭВМ.
Различные преобразования и представления этой системы уравнений, удобные для проведения численных расчетов, приведены в [1, 11]. Использовались различные приближенные методы решения уравнений (74), (77), дающие связь между давлением и насыщенностью на контуре залежи, а также метод последовательных приближений, МПССС, метод усреднения и др. С приближенными подходами к исследованию нестационарной фильтрации трехфазной смеси можно познакомиться по работам [15, 18, 19].