Основы теории фильтрации многофазных систем

Из (63) находим
, ,
и уравнение (62) принимает вид


Интегрируя последнее уравнение по , получаем
(64)
где С — постоянная интегрирования.
Требование смыкания искомого решения с решением Баклея— Леверетта, а также стационарность течения в системе координат приводят к следующим граничным условиям:
(65)
где и — насыщенности соответственно за и перед скачком, связанные соотношением (54).
Тогда, подставляя первое условие (65) в соотношение (64) и учитывая, что при этом , определяем константу интегрирования
(66)
При этом второе условие (65) выполняется автоматически, поскольку значение скорости скачка насыщенности определяется равенством (49). Подставляя теперь значение константы С из (66) в уравнение (64) и разрешая полученное соотношение относительно , находим
(67)
Если проинтегрировать уравнение (67) по , принимая начало отсчета так, чтобы при , где , то, используя формулы (49) и (54), находим
(68)
Формула (68) описывает переходную зону бесконечной протяженности, что является следствием принятых допущений. Другими словами, размер стабилизированной зоны бесконечен, и точки смыкания полученного решения с распределением Баклея—Леверетта, нет. Фактически для определения ширины зоны по формуле (68) приходится брать расстояние между точками, насыщенности в которых близки к значениям и , но не равны. При этом ширина переходной зоны оказывается пропорциональной величине или , где параметр определяется из второго равенства (26). Типичная кривая распределения насыщенности в переходной (стабилизированной) зоне приведена на рис. 13.
Существование решений уравнения (62) вида (68) показывает, что при постоянной скорости вытеснения распределение насыщенности в стабилизированной зоне является стационарным. Существование такой стабилизированной зоны было обнаружено экспериментально. В теории Баклея—Леверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком насыщенности.



Рис. 13. Кривая распределения насыщенности в стабилизированной зоне
Отметим, что уравнение (62) имеет также, кроме решения (68), зависящего от , точные автомодельные решения, зависящие от . Автомодельные решения существуют при специальном выборе суммарной скорости или суммарного расхода фаз, в частности при для прямолинейно-параллельной фильтрации и при для радиального вытеснения.